01 组合（leecode 77）

1 问题

给定两个整数 n 和 k，返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:
输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

2 解法

把组合问题抽象为如下树形结构
可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。

第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。

「每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围」。

「图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度」。

那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？

「图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果」。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

回溯法三部曲
（1）递归函数的返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。
函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。
然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,…,n] ）。

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex) 

（2） 回溯函数终止条件
什么时候到达所谓的叶子节点了呢？
path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。
所以终止条件代码如下：

if (path.size() == k) {
    
    
    result.push_back(path);
    return;
}

（3）单层搜索的过程
回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。
for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。

代码如下：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
    
     // 控制树的横向遍历
    path.push_back(i); // 处理节点 
    backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
    path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}

组合问题C++完整代码如下：

class Solution {
    
    
public:
    //存放每个组合
    vector<int> path;
    //存放所有组合构成的集合
    vector<vector<int>> res;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex)
    {
    
    
        if(path.size() == k)
        {
    
    
            res.push_back(path);
            return;
        }
        for(int i = startIndex; i <= n; i++)
        {
    
    
            //处理节点,将当前节点加入组合
            path.push_back(i);
            //递归
            backtracking(n, k, i + 1);
            //回溯
            path.pop_back();
        }
    } 
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
    
    
        backtracking(n, k, 1);
        return res;
    }
};

3 优化剪枝

当循环遍历时，剩余数的个数不满足组合中k个数要求时可以不再遍历。

优化过程如下：

（1） 已经选择的元素个数：path.size();

（2）还需要的元素个数为: k - path.size();

（3）在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历。

class Solution {
    
    
private:
    vector<vector<int>> result; 
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
    
    
        if (path.size() == k) {
    
    
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
    
     // 优化的地方
            path.push_back(i); // 处理节点 
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:

    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
    
    
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};