自闭集训 Day2

线性代数

高斯消元

做实数时，需要找绝对值最大的作为主元，以获取更高精度。

在欧几里得环（简单例子是模合数）意义下也是对的。比如模合数意义下可以使用辗转相除法消元。

欧几里得环：对于任意\(a,b\)，都可以定义\(a=qb+r\ \ (|r|<b)\)，于是可以辗转相除。（显然，多项式环也是欧几里得环）

逆矩阵

方法与高斯消元类似，左边摆一个原矩阵，右边摆一个单位矩阵，高斯消元的过程中左边的行操作都在右边同样做一遍。最后左边剩下一个单位矩阵，右边就是逆矩阵。

对于方程\(Ax=b\)，如果\(A\)存在逆矩阵，那么\(x=A^{-1}b\)。对于有多个\(b\)询问的时候可以\(O(n^2)\)做每一个询问。

CF446D

假设起点固定，设\(g_i\)表示经过\(i\)号点的期望次数，很容易列出方程，所以可以做到\(O(n^4)\)。

注意方程的形式是
\[ g_i=\sum_j p_{j,i}g_j+[i=S] \]
前面一片都总是一样的，只要\([i=S]\)每次变化。这类似于一个\(Ax=b\)的多组询问的形式，可以先求出\(A^{-1}\)然后每次乘上向量就可以得到答案。

总复杂度\(O(n^3)\)。

矩阵快速幂

多次询问\(A^n b\)，每次\(n,b\)不同。

可以预处理\(A^{2^k}\)，每次回答的时候只乘\(b\)，可以做到\(m^3\log n+qm^2\log n\)。

行列式

\(M_{i,j}\)表示去掉\(i\)行\(j\)列之后的矩阵行列式。（余子式）

\(c_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}\)：代数余子式。

\(\det(A)=\sum_i a_{i,j} c_{i,j}\)，即按行展开。（按列展开也是对的）

\(\det(A^T)=\det(A)\)。

\(\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(BA)\)。

行列式的几何意义：向量在\(d\)维空间中围成的平行X面体（单纯形？）体积，所以围成的类似于棱锥的体积等于\(\frac 1 {d!}\det(A)\)。

推论：方程组
\[ \begin{cases} x_1\ge 0\\ x_2\ge 0\\ \cdots\\ x_d\ge 0\\ \sum x_i\le S \end{cases} \]
的体积是\(\frac{s^d}{d!}\)。

THUPC2017 E

通过行列式，我们可以快速算出\(n\)维空间中\(n+1\)个点围成的棱锥的体积。

有一个结论：任选\(n\)个点，把他们围成的棱锥的体积加起来，最后除以二，就是答案。

为什么？咕咕咕

矩阵树定理

生成树的个数就是度数矩阵减去邻接矩阵，再删掉一行一列，的行列式。

有向图的以\(i\)为根的树形图，是度数矩阵减去邻接矩阵，再删去\(i\)行\(i\)列，的行列式。外向树是入度，内向树是出度。

某知名定理

\(n\)个点的完全图的生成树个数是\(n^{n-2}\)。

可以使用矩阵树定理或prufer序列证明。

BEST定理

\(n\)个点有向图存在欧拉回路的充要条件是所有点入度等于出度。图的欧拉回路的条数是任意一个点的树形图个数乘所有点度数-1的阶乘。（显然任意一个点的树形图个数都相等）
\[ ec(G)=t_w(G)\prod(deg_i-1)! \]

UOJ226

无向图的欧拉回路条数，如果图是一棵树带重边，那么可以很容易给边定向；如果是环套树带重边，那么可以枚举环上某两个点之间有几条往右几条往左，就可以推出所有边的情况。

带状矩阵

高斯消元可以做到\(nd^2\)，其中\(d\)是带子的宽度。

如果需要改变主元，为了保证复杂度不能向下找，而要向右找，交换两列，相当于交换两个变量。

用途：比如网格图做生成树个数的时候，带宽可以做到\(\min(n,m)\)，不妨设\(m<n\)，那么复杂度就是\(O(nm^3)\)。（与博客中直接消元法类似）

CF963E

见博客。

线性空间（向量空间）

定义在某一个数域内，比如\(\rm{F}_p,\R^3\)，使得\(v_1\in S,v_2\in S\)，则有\(v_1+v_2\in S,av_1\in S\)。（即对加减法和数乘封闭）

对于向量集合\(S\)，记\(\mathrm{span}(S)=\{a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+\cdots\}\)。

线性无关组\(\{v_{1...k}\}\)：不存在不全为零的\(a_{1...k}\)，使得\(\sum a_iv_i=0\)。

一个向量空间的基：向量空间中某个极大的线性无关组。

向量空间的维数：基的大小。

矩阵（或一组向量）的秩：张成的线性空间的维数。

定理：行空间和列空间的维数相等。

模\(p\)意义下，若\(\dim V=d\)，那么共有\(p^d\)个元素。（？？？）

\(Ax=b\)什么时候会有一解、无解、多解？

如果是在模\(p\)意义下，那么有多解的时候解的个数是\(p^{n-\mathrm{rank}(A)}\)。（即\(n-\mathrm{rank} (A)\)就是自由元的个数）

空间\(\{x|Ax=0\}\)（即\(Ax=0\)的解空间）是一个线性空间。

\(xor\)可以定义在\(F_2\)的\(d\)维空间。

拟阵

拟阵由一个二元组\((V,I)\)组成。

\(I\)：拟阵的子集族（即一个由集合组成的集合），满足

\(\empty\in I\)
\(A\subset B,B\in I\)，那么\(A\in I\)
\(|A|<|B|,A\in I,B\in I\)，那么存在\(v\in B-A\)，使得\(A+\{v\}\in I\)

线性无关组是拟阵。（？？？）

拟阵可以用来证明贪心的正确性。

HDU多校1 B

线性基里面存二元组\((x,p)\)表示当前值是\(x\)，用到的最早的位置是\(p\)。插入的时候如果\(p>p'\)那么交换。

询问的时候取出\(r\)位置的线性基，只用\(p\ge l\)的位置的值得到答案。

UOJ 91

类似上一题，把\(p\)设成消失的时间，然后用一样的方法做。

SRM 620 Hard

对于每个因子列一个方程；

对于每一行、每一列再列一个方程。

如果有解那么方案数就是\(2^{n-\mathrm{rank}}\)。

伴随矩阵

\(A\)的伴随矩阵（记作\(\mathrm{adj}(A)\)），他的\(a'_{i,j}=c_{j,i}\)，即代数余子式的矩阵的转置。

由于代数余子式求起来很慢，我们需要一个更快的做法。可以发现，\(\mathrm{adj}(A)\)有一些很有趣的性质：
\[ A\cdot\mathrm{adj}(A)=\det (A)\cdot I\\ \mathrm{adj}(A)=\det (A)\cdot A^{-1} \]
因此，如果\(A\)可逆，那么可以直接求出\(\mathrm{adj}(A)\)。

否则，

若\(\mathrm{rank}(A)\le n-2\)，那么伴随矩阵恒为0。（？？？）

若\(\mathrm{rank}(A)=n-1\)，则\(A\cdot \mathrm{adj}(A)=0\)，即\(\mathrm{adj}(A)\)的每一列都在\(Ax=0\)的解空间内。又因为\(Ax=0\)的解空间维数为1，所以\(\mathrm{adj}(A)\)的每一列都可以表示为\(t\cdot x_0\)。一种较为丑陋的方法就是先求出\(Ax=0\)的某一个解\(x_0\)，然后把\(A\)的某一行换成随机数，那么这一行的余子式不会变，但矩阵变得可逆了，于是就可以求出\(\mathrm{adj}(A)\)的某一行（或列？），于是就可以求出一整个\(\mathrm{adj}(A)\)。

由这个式子可以推出\(A\)在交换环\(R\)（？？？）意义下存在逆矩阵的充要条件是\(\mathrm{\det A}\)存在逆元：
\[ 1=\det (I)=\det(A\cdot A^{-1})=\det (A)\det (A^{-1})\\ \det (A^{-1})=\det (A)^{-1} \]
又因为
\[ \mathrm{adj}(A)=\det (A)\cdot A^{-1} \]
所以
\[ A^{-1}=\mathrm{adj}(A)\det (A)^{-1} \]

Schwartz–Zippel Lemma

一个多项式（可以有多个变量）在模p意义下，如果每个变量的值都是随机的，那么一整个多项式的值为0的概率不超过次数除以p。

判断一个二分图是否有完备匹配

给每一条边一个变量，……掉线

NTF笔记多好qwq

Tutte Matrix

Sherman–Morrison formula

对于列向量\(u,v\)，有
\[ (A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^{T}A^{-1}}{1+v^T A^{-1}u} \]
发现右边的东西可以\(O(n^2)\)做出来。

扩展：可以在\(O(n^2k)\)的时间内实现给一个矩阵加上一个\(\mathrm{rank}=k\)的矩阵，并维护出它的逆。仍然有公式：

\(U\)为一\(n\times k\)矩阵，\(V\)为一\(k\times n\)矩阵，且\(I_k+VA^{-1}U\)可逆，则
\[ (A+UV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I_k+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1} \]
对于某一个\(\mathrm{rank}=k\)的矩阵，选出它行空间的某一组基，那么其他的行肯定可以被表示出来，所以肯定可以被拆成\(U\cdot V\)的形式。

动态图传递闭包

令\(A\)为图的邻接矩阵（邻接矩阵内如果有边则随机设值，于是矩阵大概率可逆），那么传递闭包可以视为
\[ I+A+A^2+A^3+\cdots=\frac{1}{I-A} \]
其中\(i,j\)可达当且仅当\(A_{i,j}\)不为零。

如果要加边删边，相当于对\(A\)做很小的修改，于是可以用上面的方法维护出来。

甚至可以对某个点连出去或连进来的边全部进行修改，因为这样也只是修改了一行或一列而已。

（到底是否正确？）

ICPC2018 Nanjing F

如果固定终点，那么可以设\(f_x\)表示从这里走到\(T\)的期望步数，很容易列出方程：
\[ f_x=[x\ne T](1+\sum_y p_{x\rightarrow y}f_y) \]
直接暴力高斯消元是\(O(n^4)\)，过不去。

由于每一次改变\(T\)的时候都只会改变一行，于是可以采用上面的方法维护逆矩阵……吗？

需要注意一些初始的东西，似乎是要保证一开始的矩阵要有逆，然而并没有完全听懂。

设\(f_{i,j}\)表示从\(i\)走到\(j\)的期望步数，那么
\[ f_{i,j}=[i\ne j](1+\sum_x p_{i,x}f_{x,j}) \]
令\(g_i\)表示从\(i\)走回\(i\)的期望步数，那么
\[ g_i=1+\sum_x p_{i,x}f_{x,i} \]
于是
\[ f_{i,i}=1+\sum_x p_{i,x}f_{x,i}-g_i \]

\[ F=J+PF-G \]

（其中\(F\)全是1，\(G\)为对角矩阵）

即
\[ (I-P)F=J-G \]
可以证明\(\mathrm{rank}(I-P)=n-1\)。

左右同时进行高斯消元，令\(F_{n,i}=0\)，可以消出一个\(F\)的特解\(Y\)。

由于\((I-P)x=0\)的解空间的维数为1，所以可以给\(Y\)的每一列加上几个\(x\)，然后……由于\(F_{i,i}=0\)，可以知道每一列到底要加几个，然后就做完了……

（？？？）

设\(q_{k,i}\)表示走\(k\)步之后走到\(i\)的概率，则\(\lim\limits_{k\rightarrow \infty}q_{k,i}=\pi_i\)。

所以
\[ \pi P=\pi \]
而且
\[ \sum \pi_i=1 \]
可以解方程解出\(\pi\)。

于是在一个无限长的出现序列里面，每\(g_i\)步便出现一次\(i\)，所以\(g_i=\frac 1{\pi_i}\)。

于是\(g\)也求出来了，于是\(F\)也就可以通过求逆求出来。

（不是很严谨）

特征值和特征向量

如果\(\lambda\)为\(A\)的特征值，那么满足
\[ \det(\lambda I-A)=0 \]
显然，\(\det (\lambda I-A)\)为一个关于\(A\)的一个次数为\(n\)的多项式，而且首项系数为1。记这个多项式为\(A\)的特征多项式。

每个特征值对应一个特征向量\(x_i\)，满足
\[ A\cdot \left[ x_1,x_2,\cdots ,x_n \right]=[\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,\cdots,\lambda_nx_n ]\\ =[x_i]\cdot D \]
其中\(D\)是\(\lambda_i\)组成给的对角矩阵。记\(P=[x_i]\)。

所以\(AP=PD,A=PDP^{-1}\)，所以\(A^n=PD^nP^{-1}\)。

CF923E

矩阵对角化一下，显然\(\lambda_i=\frac 1 i\)，然后发现上面的\(P\)和\(P^{-1}\)都有很好的性质，一通乱乘恰好是一个卷积的形式，于是就没了。

（具体证明懒得写了，看题解吧）

哈密尔顿-凯莱定理

对于\(A\)的特征多项式\(f(\lambda)=\sum c_k\lambda^k\)，有\(f(A)=0\)。

所以有
\[ \sum c_kA^k=0 \]

优化线性递推

见博客。

BM算法求矩阵的最小多项式

考虑数列\(\{A^k\}\)的线性递推式\(A^n=\sum_{i=1}^t c_iA^{n-i}\)，它其实就对应着一个零化多项式，所以我们就是要求这个数列的最短递推式。

考虑随机两个向量\(u,v\)，改成求\(\{u^TA^kv\}\)的线性递推式。

设\(A\)中非0位置的个数是\(e\)，那么\(A\)与一个向量相乘的复杂度是\(O(e)\)的，于是可以\(O(ne)\)搞到这个数列，然后再\(O(n^2)\)求出线性递推式。

总复杂度\(O(n(n+e))\)。

BM算法解稀疏线性方程组

对于一个方程组\(Ax=b\)（\(A\)满秩），有\(x=A^{-1}b\)。

考虑求出\(\{A^kb\}\)的最短递推式，那么得到\(Ib=\sum_{i=1}^m c_iA^ib\)。左右同乘\(A^{-1}\)，得到\(A^{-1}b=\sum_{i=1}^m c_iA^{i-1}b\)。

\(A^kb=A(A^{k-1}b)\)，所以可以直接递推得到。