因数分解与算术基本定理

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因数分解与算术基本定理

素数的一些基本性质

断言：令 $p$ 是素数，假设 $p$ 整除乘积 $ab$，则 $p$ 整除 $a$ 或 $p$ 整除 $b$（或者 $p$ 整除 $a$ 且 $p$ 整除 $b$）

证明：假设 $p$ 不整除 $a$，考虑 $gcd(a,p)$，此时 $gcd(a,p)=1$ 。应用线性方程定理可以求出以下方程的整数解：
$$px+ay=1$$
现在将方程两边同乘以 $b$ 得
$$pbx+aby=b$$
由于 $p$ 整除 $pb$，$p$ 整除 $ab$ ，则 $p$ 整除 $pbx$ 和 $aby$，也就整除他们的和 $b$

定理：（素数整除性质） 假设素数 $p$ 整除乘积 $a_1{a}_2\cdots a_r$，则 $p$ 整除 $a_1,a_2,\cdots ,a_r$ 中至少一个因数。

证明：如果 $p$ 整除 $a_1$ 则证明完成，如果 $p$ 不整除 $a_1$，应用断言到

$$a_1(a_2{a}_3\cdots a_r)$$
得出结论 $p$ 整除 $a_2{a}_3\cdots a_r$，重复以上过程，可以得到，$p$ 必然整除某个 $a_i$.

算术基本定理

定理：（算术基本定理） 每个整数 $n\ge 2$ 可唯一分解成素数乘积
$$n=p_1{p}_2\cdots p_t$$

证明：算术基本定理可以分成以下两个断言：

**断言1：**数 $n$ 可以以某种方式分解成素数乘积。

**断言2：**这种因式分解唯一（因数重排除外）。

下面使用第二数学归纳法证明断言1：

$n=2$ 时，由于 $n$ 是素数，已经完成分解，则断言 1 成立。

假设 $n\le N$ 时断言 1 成立，接下来证明 $n=N+1$ 时结论成立：

1. 若 $N+1$ 为素数，则其本身已经完成分解

2. 若 $N+1$ 为合数，则按照合数的定义其可以分解为 $N+1=n_1{n}_2,2\le n_1,n_2\le N$ . 而对于 $n_1,n_2\le N$ 断言1成立，从而 $n_1,n_2$ 可以分解为素数的乘积即：
   $$n_1=p_1{p}_2\cdots p_r{n}_2=q_1{q}_2\cdots q_r$$
   则
   $$N+1=n_1{n}_2=p_1{p}_2\cdots p_r{q}_1{q}_2\cdots q_r$$
   所以，$N+1$ 可以分解成素数的乘积，断言 1 成立

接下来证明断言 2：

假设我们将 $n$ 分解为两种形式的素数乘积：
$$n=p_1{p}_2\cdots p_r=q_1{q}_2\cdots q_s$$
由于 $p_1$ 整除 $n$，$p_1$也整除 $q_1{q}_2\cdots q_s$，但是由于 $p_i,q_i$ 均为素数，由素数整除性质可知 $p_1$ 必定整除 $q_1{q}_2\cdots q_s$ 中的一个，如果重排 $q_i$ 可以使得 $p_1$ 整除 $q_1$，由于 $p_1,q_1$ 均为素数，$p_1=q_1$。

将$p_1,q_1$从等式两端消去：
$$p_2{p}_3\cdots p_r=q_2{q}_3\cdots q_s$$
继续这个过程直到所有的 $p_i$ 或 $q_i$ 被消去，可以发现，等式的一端会变成 $1$ ，而此时剩余的 $p_i$ 或 $q_i$ 等于 1。也就是说，$s=r$，且通过重排一定可以得到 $p_i=q_i$。

至此算术基本定理证明完成

那么应该如何得到这一分解呢？

要将 $n$ 表示成素数乘积，用小于等于 $\sqrt{n}$ 的每个数（或正好每个素数）$2,3,\cdots$ 试除它，若没有得到整除 $n$ 的整数，则 $n$ 本身是素数。否则求得的第一个因数是素数 $p$ 。分解得 $n=pm$ ，然后对 $m$ 重复这个过程。

可以看出这一过程效率极低，这样，如果我们给某人 $n=pq$ 的乘积值，他不太可能通过分解 $n$ 来获取 $p,q$ 的值。这一特性也是利用数论建立高度安全密码这种重要应用的关键所在。