动态规划-4-Hanoi-Tower

描述

“汉诺塔”，是一个众所周知的古老游戏。现在我们把问题稍微改变一下：如果一共有4根柱子， 而不是3根，那么至少需要移动盘子多少次，才能把所有的盘子从第1根柱子移动到第4根柱子上呢？

为了编程方便，您只需要输出这个结果mod 10000的值。

格式

输入格式

一个正整数n。（0<n<=50000）

输出格式

一个正整数，表示把n个盘子从第1根柱子移动到第4根柱子需要的最少移动次数mod 10000的值。

样例1

样例输入1

2

样例输出1

3

解题

1. 设三根柱子时，n个盘子最小移动次数为dp_3[n]，首先通过递推式可以快速求出dp_3[n] = 2 * dp_3[n - 1] + 1。
2. 4根柱子时，n个盘子最小移动次数为dp_4[n]，可以先把n个盘子上的k个盘子移动到其中一个柱子，移动次数为dp_4[k]，然后剩下n - k个盘子移动dp_3[n - k]次到达另一个柱子，然后将剩下的k个盘子移到n - k个盘子的柱子上，移动dp_4[k]次，于是有dp_4[n] = min(2 * dp_4[k] + dp_3[n - k])，1 <= k < i。
3. 由于该题n最大可取50000，显然直接递推式不行的，所以列举dp_4[] 的前20项，找出规律求解。

代码

列举前20项，找规律：

	int n;
    cin >> n;
    memset(dp_4, 0x3f, sizeof(dp_4));
    dp_3[1] = 1;
    dp_4[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) dp_3[i] = 2 * dp_3[i - 1] % p + 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
    
        for (int j = 1; j < i; j++) {
    
    
            dp_4[i] = min(dp_4[i], 2 * dp_4[j] + dp_3[i - j]);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << dp_4[i] << " ";
    cout << endl;

运行结果：

20
1 3 5 9 13 17 25 33 41 49 65 81 97 113 129 161 193 225 257 289

发现规律很简单，重新列出新的递推式

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int p = 1e4;
const int maxn = 5e4 + 2;
// int dp_3[maxn];
// int dp_4[maxn];
int dp[maxn];

int main() {
    
    
    int n;
    cin >> n;
    // memset(dp_4, 0x3f, sizeof(dp_4));
    // dp_3[1] = 1;
    // dp_4[1] = 1;
    // for (int i = 2; i <= n; i++) dp_3[i] = 2 * dp_3[i - 1] % p + 1;
    // for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
    
    //     for (int j = 1; j < i; j++) {
    
    
    //         dp_4[i] = min(dp_4[i], 2 * dp_4[j] + dp_3[i - j]);
    //     }
    // }
    // for (int i = 1; i <= n; i++) cout << dp_4[i] << " ";
    // cout << endl;

    dp[1] = 1;
    int add = 2;  //每次增加的权值
    int cnt = 2;  //增加的次数
    for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
    
    
        dp[i] = (dp[i - 1] + add) % p;
        if (++j == cnt) {
    
    
            cnt++;
            j = 0;
            add = (add << 1) % p;
        }
    }
    // for (int i = 1; i <= n; i++) cout << dp_4[i] << " " << dp[i] << endl;
    // cout << cnt << endl;
    cout << dp[n] << endl;

    system("pause");
    return 0;
}