数列4 动态规划

数列4

题目描述

  虽然蔡书苹长大了，但她还是很喜欢找点游戏自娱自乐。有一天，她在纸上写了一串数字：1，1，2，5，4。接着她擦掉了一个1，结果发现剩下1，2，4都在自己所在的位置上，即1在第1位，2在第2位，4在第4位。她希望擦掉某些数后，剩下的数列中在自己的位置上的数尽量多。她发现这个游戏很好玩，于是开始乐此不疲地玩起来…不过她不能确定最后能有多少个数在自己的位置上，所以找到你，请你帮忙计算一下！

输入格式

第一行为一个数n，表示数列的长度。
接下来一行为n个用空格隔开的正整数，第i行表示数Ai。

输出格式

一行，一个整数，表示擦掉某些数后，最后剩下的数列中最多能有多少个数在自己的位置上，即Ai=i最多能有多少。

输入样例

5
1 1 2 5 4

输出样例

3

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解题思路

本题大意：求一个序列删除若干数后，使得剩下的数与自己所在位置相等的个数最多。

通过观察题目，我们可以对$A$数列中的数进行分类讨论，设$po{s}_i$为$A_i$目前所在的位置：

1. 若$A_i>po{s}_i$，那么无论怎么删数，$A_i$都不可能到达它原来的位置。
2. 若$A_i=po{s}_i$，那么不用删数，$A_i$就在它原来的位置上。
3. 若$A_i<po{s}_i$，那么删去若干个数，$A_i$就会在它原来的位置上。

综上所述，我们只需考虑第2，第3种情况，并且发现最后到达自己原来位置的数呈现出单调上升的趋势，因此我们考虑使用动态规划，由此本题正解很明显是线性动态规划。

我们设$f[i]$表示以$A_i$结尾，前面所能组成的最长的答案数列。那么$A_i$可以作为前面其中一些合法数列的结尾，我们设前面符合第2，第3条件的数为$A_{k_1},A_{k_2},A_{k_3}\cdots A_{k_x}$，但是并不是所有数列后面都能接$A_i$，举个例子：

$i$	1	2	3	4	5	6
$A_i$	5	1	2	4	6	3

在这个数列中$A_2,A_3,A_4$都是可以回到原来的位置的，如果以$A_4$为某个合法数列的结尾，那么这个合法数列最长为1，就是他自己。因为$A_4$如果接在$A_2,A_3$的后面，那么当这两个数回到原来位置后，$A_4$就会变成第1种情况，变得不合法。

由此我们知道，如果以$A_i$为结尾，那么设它可以接在$A_{k_j}$后面，$A_{k_j}$与$A_i$满足以下条件：

1. $A_{k_j}<A_i$
2. $po{s}_i-po{s}_{k_j}\ge A_i-A_{k_j}$

状态转移方程：$f[i]=max(f[i],f[k_j]+1)$

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代码

/*
1.a[i]必须在i或i之后才有可能到达原来的位置
2.若最长数列里有a[i]和a[j]且i<j，那么有a[i]<a[j] 且 a[j]-a[i](数值上的差)<=j-i(位置上的差) 且 a[i]!=a[j] 
*/
#include<iostream>

using namespace std;
int n;
int a[1005],f[1005],ans;
/*
f[i]表示以a[i]结尾所得的最长序列
根据以上条件可得
f[i]=max(f[i],f[k1]+1,f[k2]+1...,f[kn]+1) (kn<i&&a[i]>a[kn]&&a[i]!=a[kn]&&a[i]-a[kn]<=i-kn) 
*/
int main()
{
    
    
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(a[i]<=i)
		{
    
    
			f[i]=1;
			for(int j=1;j<i;j++)
				if(a[j]<=j&&(i-j>=a[i]-a[j])&&a[i]>a[j])
					f[i]=max(f[i],f[j]+1);
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans=max(f[i],ans);
	cout<<ans;
	return  0;
}