深度学习入门--感知机与神经网络

1. 从简单线性分类器到深度学习

给定4个特征，简单线性分类器进行的是加权计算。

深度学习中，在输入层和输出层之间加入了中间层，即隐藏层。

在中间层，由原来的4个特征变成了3个，深度学习的一个特点就是：通过组合低层特征形成更加抽象的高层特征。

传统机器学习先从图像中提取特征量，再用机器学习技术学习这些特征量的模式。这里所说的“特征量”是指可以从输入数据（输入图像）中准确地提取本质数据（重要的数据）的转换器。图像的特征量通常表示为向量的形式。在计算机视觉领域，常用的特征量包括SIFT、 SURF和HOG等。使用这些特征量将图像数据转换为向量，然后对转换后的向量使用机器学习中的SVM、 KNN等分类器进行学习。但是需要注意的是，将图像转换为向量时使用的特征量仍是由人设计的。也就是说，即使使用特征量和机器学习的方法，也需要针对不同的问题人工考虑合适的特征量。

神经网络直接学习图像本身。神经网络都是通过不断地学习所提供的数据，尝试发现待求解的问题的模式。也就是说，与待处理的问题无关，神经网络可以将数据直接作为原始数据，进行“端对端”的学习。

2. 感知机

2.1 什么是感知机

感知机是两类分类的线性分类模型。假设输入为实例样本的特征向量$x$，输出为实例样本的类别$y$，则由输入空间到输出空间的如下函数称为感知机：
$y=g({\sum }_{i=1}^n{w}_i{x}_i+b)$或者$y=g(w\cdot x+b)$
g为激励函数，已到达对样本分类的目的。Rosenblatt的感知机用阶跃函数作为激励函数，其公式如下：
$$\begin{array}{r}g(z)=\{\begin{array}{c}1,(z>0)\\ 0,(z<=0)\end{array}\end{array}$$

2.2 感知机模型的损失函数

2.3 感知机模型的优化–随机梯度下降法

2.4 感知机学习算法

一层感知机是线性分类模型，2层感知机便可以进行非线性分类。
一般来说，“朴素感知机”是指单层网络，指的是激活函数使用了阶跃函数的模型；“多层感知机”是指神经网络，即使用sigmoid函数等平滑激活函数的多层网络。

3. 神经网络基础

3.1 激活函数

感知机与神经网络的主要区别就在于激活函数。其他方面，比如神经元的多层连接的构造、信号的传递方法等，基本上和感知机是一样的。感知机使用阶跃函数作为激活函数，如果将激活函数从阶跃函数换成其他函数，就可以进入神经网络的世界了。
sigmoid函数
$$\begin{array}{r}h(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\end{array}$$

神经网络中使用sigmoid函数作为激活函数，进行信号的转换。转换后的信号被传递给下一个神经元。

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sigmoid函数和阶跃函数的比较：
（1）sigmoid函数是一条平滑的曲线，输出随着输入发生连续性变化，而阶跃函数以0为界，输出发生急剧性变化；
（2）两者的值都在0到1之间，在输入小时，输出接近0（为0），输入大时，输出接近1（为1），即当输入信号为重要信号时，两个函数都会输出较大的值；
（3）两者都是非线性函数。

ReLU函数
$$\begin{array}{r}h(x)=\{\begin{array}{c}x,(x>0)\\ 0,(x<0)\end{array}\end{array}$$
当输入大于0时，直接输出该值；输入小于等于0时，输出0.

神经网络的激活函数必须使用非线性函数。线性函数的问题在于，不管如何加深层数，总是存在与之等效的“无隐藏层的神经网络”，这样的话，加深网络的层数就没有意义了。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#阶跃函数的实现
def step_function0(x):
    if x > 0:
        return 1
    else:
        return 0
#这里参数x只能接受实数，为了允许参数为Numpy数组，进行改进如下
def step_function(x):
    y = x > 0 #布尔型数组
    return y.astype(np.int) #将布尔型转换为数值型

#sigmoid函数的实现
def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

#ReLU函数的实现
def relu(x):
    return np.maximum(0, x)

3.2 3层神经网络从输入到输出的前向处理

从输入层到第1层

计算过程如下：

隐藏层的加权和（加权信号和偏置的总和）用a表示，被激活函数转换后的信号用z表示。此外，图中h()表示激活函数，这里我们使用的是sigmoid函数。

从第1层到第2层

计算过程与上一层类似。

从第2层到输出层

输出层所用的激活函数，要根据求解问题的性质决定。一般地，回归问题可以使用恒等函数，二元分类问题可以使用 sigmoid函数，多元分类问题可以使用 softmax函数。

#实现3层神经网络从输入到输出的前向传播
X = np.array([1.0, 0.5])
W1 = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]]);
B1 = np.array([0.1, 0.2, 0.3])

A1 = np.dot(X, W1) + B1 #第0层到第1层
Z1 = sigmoid(A1)

W2 = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
B2 = np.array([0.1, 0.2])

A2 = np.dot(Z1, W2) + B2 #第1层到第2层
Z2 = sigmoid(A2)

W3 = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
B3 = np.array([0.1, 0.2])

A3 = np.dot(Z2, W3) + B3 #第2层到输出层
Y = A3

3.3 输出层的设计

恒等函数
恒等函数会将输入按原样输出，对于输入的信息，不加以任何改动地直接输出。因此，在输出层使用恒等函数时，输入信号会原封不动地被输出。

softmax函数

softmax函数的输出是0.0到1.0之间的实数。并且， softmax函数的输出值的总和是1。输出总和为1是softmax函数的一个重要性质。正因为有了这个性质，我们才可以把softmax函数的输出解释为“概率”。即便使用了softmax函数，各个元素之间的大小关系也不会改变。这是因为指数函数（y = exp(x)）是单调递增函数。

softmax函数的实现中要进行指数函数的运算，但是此时指数函数的值很容易变得非常大。比如， e10的值会超过20000， e100会变成一个后面有40多个0的超大值， e1000的结果会返回一个表示无穷大的inf。如果在这些超大值之间进行除法运算，结果会出现“不确定”的情况。

这里的$C^{\prime }$可以使用任何值，但是为了防止溢出，一般会使用输入信号中的最大值。

#实现softmax函数
def softmax(a):
    c = np.max(a)
    exp_a = np.exp(a - c) #溢出对策
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    return y

上面实现的函数是针对一条数据的，下面函数的针对批量数据的。

def softmax(x):
    if x.ndim == 2:
        x = x - np.max(x, axis=1).reshape((-1,1))
        y = np.exp(x) / np.sum(np.exp(x), axis=1).reshape((-1,1))
        return y

    x = x - np.max(x) # 溢出对策
    return np.exp(x) / np.sum(np.exp(x))

输出层的神经元数量
输出层的神经元数量需要根据待解决的问题来决定。对于分类问题，输出层的神经元数量一般设定为类别的数量。