自底向上分析总结

1 前言

这章和上一章自顶向下是语法分析的两种方法。然而自底向上的分析方法更为强大一些，主要有:

• LR(0)
• SLR(1)
• LR(1)
• LALR(1)

我们仍然是以例子的方式，带大家慢慢了解这些知识点。

引用的课本: 《编译原理及实践》 Kenneth.C.Louden 机械工业出版社 2000.3

2 LR(0)

2.1 LR(0) 例子

我们考虑下列文法，并分析一下用该文法分析 ((a))
$$A\to (A)|a$$

首先，我们我们必须明确一个事情，自底向上分析文法的时候，文法开始符号不能有两个入口。
但是它不用消去左递归和左公因子，这一点和自顶向下的分析方法有很大区别。

所以这里我们需要扩充文法
$$\begin{gathered} A^{\prime }\to A \\ A\to (A) \\ A\to a \end{gathered}$$
接着绘制LR(0) 的DFA图:(摘自课本159页)
这里简要说一下这个图绘制的思路(编号只是为了方便表示还有方便我们后期写算法，编号顺序无所谓):

• 我们看编号为0的。这里第一条A’ → .A，点号代表我们当前位置。然后改规则我们发现，下一个是A，是非终结符号来的，所以我们需要把A的相关的文法规则放进去，这里有两条，一个是 A → .(A), 另一个是 A → .a, 关于这个点号，我们会发现其实每一次都是放在最左边的，因为我们是想要继续移进或者规约。
• 从编号为0开始，如果后面一个字符是A， 则我们可以跳转到编号为1的结点。这个时候如果是$结束符号的话，进入接受状态并宣告成功，否则报错。
• 然后还有一点要说明的是，比如我们走到编号为2的结点，这时候发现已经是规约态了，需要回溯，那么回溯多少步呢，看规则: A → a. ， .前只有一个字符(准确来说应该是一个词法单元，即token)，所以回退一步就够了。同理，如果是编号为5，则需要回退三步。那么计算机如何实现回退呢，这就涉及到栈了。

分析 ((a)) 的过程，这里大家再看一下P159 表5-3就会明白了:
注: 这里第8的分析栈书上有误，应该是 $ 0 ( 3 A 4 ) 5
如果不用DFA图解决问题的话，其实也可以使用分析表去解决这个问题:课本P160页 表5-4

2.2 LR(0)的问题

实际上，能用LR(0) 解决的文法是非常少的。比如我们看个例子:
G(E)
$$E\to E+n|n$$
试分析 n+n+n 。
我们仍然先画出LR(0)的DFA图，看看会有什么问题:

画此图的时候，仍然需要实现文法扩充，以下若是需要此步骤的我就不赘述了。
这里我们发现，在结点1的时候，我们是要进行 E‘ → E. 规约呢,还是要 E → E. + n移进呢？这就发生了 规约-移进冲突 ! 为此，我们引出 SLR(1) 的方法，其中S代表简单simple的意思， 1代表超前查看一个token。

3 SLR(1)

3.1 SLR(1)

我们继续考虑上一个问题:

结点一选择哪一个规则，其实我们可以看到，当要分析的字符创如果后面是 + 号的话， 我们应该是 移进 而不是规约。因此我们可以求出 Follow(E), Follow集合的求解方法在我上一篇博客文法规则自顶向下分析有提到，若忘记的朋友可以去回顾一下。
因此这里我们就可以解决这个 移进-规约冲突 了。
这里解决问题依旧可以使用LR(0) 的DFA图解决，或者也可以使用分析表的方式。其实看完本文我们会知道，四种方法中，唯独就 SLR(1) 没有专门的DFA图。

3.2 SLR(1) 问题1

我们看下这个文法：
$$\begin{gathered} statement\to if-stmt|other \\ if-stmt\to if(exp)statement|if(exp)statementelsestatement \\ exp\to 0|1 \end{gathered}$$
化简一下即为:
$$\begin{gathered} S\to I|other \\ I\to ifS|ifSelseS \end{gathered}$$
绘制出LR(0) 的DFA图(课本P163 图5-6)就会发现状态5那里，有移进-规约冲突。

对于规约项：Follow (I) = {$, else}
对于移进项的下一个符号为 else,。那么当出现else怎么办呢？
我们引入 最长串匹配 规则可以解决这个问题，也就是说，当出现else的时候，就选择移进。
分析表 课本P164 表5-9（书中的表有错误，更正如下截图,来自老师PPT）

正确的表应该如下:

但是，它只能解决 移进-规约冲突，却不能解决 规约-规约冲突。

3.3 SLR(1) 问题2

这里直接截图了:

画出来图后会发现，此DFA图有可能产生 规约-规约冲突. 而且
Follow(S) = {$}, Follow(V) = {$, :=}, 那么当出现后续是 $ 号时，我们是规约出 S 还是规约出 V 呢？此时SLR(1) 就解决不了了。尽管如此，SLR(1)还是可以分析日常生活中的许多文法。

4 LR(1)

4.1 解决SLR(1) 的规约冲突问题

我们想想刚刚为何会出现这个问题呢，原因是我们考虑后续的符号太晚了。

当然我们也可以考虑SLR(K)，但是K一般不会大于2，不然回溯成本太高，所以实际上SLR(K)用的不多，这里就介绍了，大家有兴趣可以看看课本P165或者上网查查资料。
然后我们可以下面这样搞：（截图截自老师ppt）

这里第一行的S’ -> .S,$ 的$是由follow(S’)得出。
S → .id 的follow项是 $ 是由 S’ → .S 得出来的，V → .id 的follow项 := 是由 S → .V := E 得出来的。
右边状态的 S → id. 的 $ 是由左边的 S → .id 得来的。
可以看到此时规约S和V就不会产生矛盾了。

4.2 LR(1) 的问题

考虑文法规则
$$A\to (A)|a$$
画出其LR(1) 的DFA图（课本P168 图5-7）

观察到状态3与6，状态4与8， 状态2与5，状态7与9，状态树几乎大了一倍呀，可是他们就第一条的follow项不同。能不能合并一下呢，这就出现了LALR(1) 的分析方法。

5 LALR(1)

5.1 解决LR(1) 耗费过多空间的问题

我们仍然考虑文法规则
$$A\to (A)|a$$
我们将LR(1) 中的DFA图的一些类似的结点合并，得出LALR(1)的DFA图(课本P172 图5-9):

可以看到存储空间可以省下很多。

5.2 LALR(1)出错延迟的问题

大家分别用 LR(1) 和 LALR(1) 分析一下 a)

• LR(1): 从状态0开始，接收 a, 到状态3， 然后 发现 ）并不是 [A → a., $] 的follow项 $, 产生出错处理。
• LALR(1): 从状态0开始，接收a, 到状态3, 然后规约出A跳转到到状态1 (3 → 0 → 1), 发现不是[A’ → A., $] 的follow项 $ ，产生出错处理。
  
  可见，LALR(1) 会比 LR(1) 在处理错误字符串的时候，花费多一些时间。尽管如此，由于LALR(1) 省下了大量的存储空间，很多工具还是使用了 LALR(1) 作为文法分析方法，比如 Yacc。

6 结语

自底向上作为一种重要的文法分析方法，还是很有必要花时间学习一下的。午安~~