Trapezoidal Rule
思想原理
为了求解积分值,人们想到一种近似方法。假设要求 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的积分,将积分区间等长分成 n n n 段,则每两个分段点之间的距离 h = b − a n h=\frac{b−a}{n} h=nb−a,然后如下图进行近似
则该区间上的积分值就近似等同于每个小梯形的面积之和。
推导过程
如上图所示, ∫ a b f ( x ) \int_{a}^{b}f(x) ∫abf(x) 的结果,就是上图中所有梯形面积总和。
梯形面积
第一个梯形(最左边)的上底 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0),下底 f ( x 1 ) f(x_1) f(x1),高为 h = b − a n h=\frac{b-a}{n} h=nb−a,因此对应的面积为 S 1 = ( f ( x 0 ) + f ( x 1 ) ) ∗ h / 2 = ( f ( x 0 ) + f ( x 1 ) ) ∗ h 2 S_1=(f(x_0)+f(x_1))*h/2=\frac{(f(x_0)+f(x_1))*h}{2} S1=(f(x0)+f(x1))∗h/2=2(f(x0)+f(x1))∗h。
以此类推,最后一个(最右边)的上上底 f ( x n − 1 ) f(x_{n-1}) f(xn−1),下底 f ( x n ) f(x_n) f(xn),高为 h = b − a n h=\frac{b-a}{n} h=nb−a,因此对应的面积为 S n = ( f ( x n − 1 ) + f ( x n ) ) ∗ h / 2 = ( f ( x n − 1 ) + f ( x n ) ) ∗ h 2 S_n=(f(x_{n-1})+f(x_n))*h/2=\frac{(f(x_{n-1})+f(x_n))*h}{2} Sn=(f(xn−1)+f(xn))∗h/2=2(f(xn−1)+f(xn))∗h。
因此,所有梯形的总面积为
∫ a b f ( x ) ≈ ∑ i = 1 n ( S i ) = S 0 + . . . + S n = h 2 [ f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + ⋯ + f ( x n − 2 ) + f ( x n − 1 ) + f ( x n − 1 ) + f ( x n ) ] = ( b − a ) 2 ∗ n [ f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n f ( x i ) + f ( x n ) ] \int_{a}^{b}f(x) \approx \sum_{i=1}^{n}(S_i)=S_0+...+S_n\\ =\frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_1)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots + f(x_{n-2})+ f(x_{n-1})+ f(x_{n-1})+ f(x_{n})]\\ =\frac{(b-a)}{2*n}[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n}f(x_i)+f(x_n)] ∫abf(x)≈i=1∑n(Si)=S0+...+Sn=2h[f(x0)+f(x1)+f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn−2)+f(xn−1)+f(xn−1)+f(xn)]=2∗n(b−a)[f(x0)+2i=1∑nf(xi)+f(xn)]
C++ implement
输入
根据上面的公式,我们可以总结出,输入包括以下几个:
1、 f ( x ) f(x) f(x)。即需要积分的函数。
2、 x 0 x_0 x0。即积分开始点。
3、 x n x_n xn。即积分结束点。
4、 n n n。即毕竟的次数。
f ( x ) f(x) f(x) 函数
和前面的设计一样,使用外部函数实现。对应的函数原型如下:
//输入x,计算对应的y值。
double f(double x);
主框架
类似前面的计算,主要用于输入数据。
#include <iostream>
using namespace std;
//输入x,计算对应的y值。
double f(double x);
int main() {
//变量定义
double lower;//起点坐标
double upper;//终点坐标
int step;//迭代次数
cout<<"Enter lower limit of integration:";
cin>>lower;
cout<<"Enter upper limit of integration:";
cin>>upper;
cout<<"Enter number of sub intervals:";
cin>>step;
//计算 h
double h=(upper-lower)/step;
//计算f(x0)+f(xn)
double ans=f(lower)+f(upper);
//开始迭代
double x=lower;
for (int i=1; i<step; i++) {
x += h;
ans += 2*f(x);
}
ans = ans*h/2;
//结果输出
cout<<"Required value of integration is: "<<ans<<"\n";
return 0;
}
测试
样例 1
我们计算 ∫ 0 6 1 1 + x 2 \int_0^6\frac{1}{1+x^2} ∫061+x21,迭代次数为 6 6 6 次。
f ( x ) f(x) f(x) 函数实现
#include <cmath>
//输入x,计算对应的y值。
double f(double x) {
return 1.0/(1+pow(x,2));
}
编译
测试环境为 Win10+MinGW,使用 g++ 编译器。
g++ -g -o TR.exe main.cpp f.cpp