用python的库 sympy 求积分

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$integrate()$可以计算定积分和不定积分:

• $integrate(f(x), x):$计算不定积分 $\int f(x) dx$
• $integrate(f(x), (x, a, b)):$计算定积分 $\int_{0}^{a} f(x) dx$

如果要对多个变量计算多重积分，只需要将被积分的变量依次列出即可

• $integrate(f(x, y), x, y):$计算双重不定积分 $\int\int f(x, y) dxdy$
• $integrate(f(x, y), (x, a, b), (y, c, d):$计算双重定积分 $\int_{c}^{d}\int_{a}^{b} f(x, y) dxdy$

更高重积分同理

1.一重积分

问题1：求解如下一重定积分：

$F(x) = \int_0^1 x^{2}+e^{x}+1 ~dx\,.$
程序， 如下

from sympy import *
x = symbols('x')
print(integrate(x**2 + exp(x) + 1, (x, 0, 1)))

结果：

1/3 + E

问题2：求解如下一重不定积分：

$F(x)=\int \frac{xe^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}$

程序， 如下

from sympy import *
x = symbols('x')
print(integrate(x*exp(x)/(exp(x)+1)**2, x))

结果

x - x/(exp(x) + 1) - log(exp(x) + 1)

2.二重积分（多重积分）

问题1：求解如下二重定积分

$F(x, y)= \int_{0}^{1/2}\int_{0}^{1} xy~dxdy .$
程序1，如下：

from sympy import *
x, y = symbols('x y')
print(integrate(x*y, (x, 0, 1), (y, 0, 1/2)))

结果：

0.0625000000000000