什么是数论

什么是数论

数论是研究正整数集合
$$1,2,3,4,5,6,7,\cdots \cdots$$
它也常被称为自然数集合（不同于我们平时所讲的自然数集合，我们平时所讲的自然数一般是非负整数集合即包含0，这里特别注意一下）。
特别的，研究的是不同类型数之间的关系。像奇数、偶数、平方数、立方数、素数、合数、同余数、三角数、完全数、斐波那契数…我们在后边会一一讲到。

典型的数论问题

平方和1

两个平方数秩和可能等于平方数吗？答案显示是肯定的，从初中学过的勾股定理
$$a^2+b^2=c^2$$
我们就可以得出答案。

高幂次和

受平方和1的启发，会自然的发问：两个立方数之和等于立方数吗？两个4次方之和是四次方吗？一般的，两个n次方之和是n次方吗？答案是’否定的‘，这个著名问题称为【费马大定理】（由费马提出，1994年由Andrew Wiles完全解决，证明过程使用了复杂的数学技巧，不再赘述，感兴趣的小伙伴自行找度娘~）

素数无穷

素数是一个整数p>1，它仅有因数1和p。

1. 存在无穷多个素数吗？
2. 存在无穷多个除4余1的素数吗？
3. 存在无穷多个除4余3的素数吗？
   这些问题的答案是’肯定的‘

平方和2

哪些数等于平方数之和呢？对这类问题，素数的情形往往容易回答，大家可以自己画一些表格找一下规律，具体答案会在后边揭晓~

数的形状

平方数是可排列成正方形的数1，4，9，16，…。三角数是可排列成三角形的数1，3，6，10，…，前几个三角数与平方数如图所示：

自然要问是否存在除1之外的也是平方数的三角数？答案是’肯定的‘。最小的例子是36。那么是否有更多的例子，如果有，是有无穷多个还是有限个？要搜索更多的例子，可能用到公式
$$1+2+3+\cdots +(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
这个公式还有一个高斯的有趣的小故事呢~

孪生素数

在素数表中，有时会出现相邻奇数都是素数的情形，再小于100的下列素数表中，已将孪生素数加框：

存在无穷多个素数吗？也就是说，是否有无穷多个素数p式p+2也是素数？迄今为止，没有人能回答这个问题~期待看到这篇文章的你们可以解决！奥里给！

形如$N^2+1$的素数

如果取N=1，2，3，…，列出形如$N^2+1$的数，其中一些是素数。当然，如果N是奇数，则$N^2+1$是偶数，所以他不是素数（除非N=1），实际上，人们感兴趣的是N取偶数，下图已经用粗体突出显示了素数：

看起来素数还是挺多的，但随着N的增大这种素数会越来越稀少。那么是否有无穷多个形如$N^2+1$的素数，迄今为止，没有人知道这个问题的答案~又给看到这里的小伙伴一个历史难题，hhh，欢迎交流讨论。

总结

这篇文章主要简单介绍了一下数论的研究内容和一些典型的数论问题，有时候感觉数论就像是以前做的找规律的题的一种生化，当然数论还包含很多有趣的内容，尤其对于密码学的研究，非常重要，接下来就会真正的走进数论的世界。

如有错误，欢迎评论留言一起交流讨论。
本篇文章基本来源我在自学的参考书，如有抄袭，说明咱俩可能看的同一本参考书，关于参考书参看【数论】专栏下的第一篇！