梯度下降原理推导

方向导数

设$l$是xoy平面上以$(x_{0},y_{0})$为始点的一条射线，$e_{l}=(cos \alpha, cos \beta)$是与$l$同方向的单位向量，射线$l$的参数方程为

$$x=x_{0}+tcos\alpha$$ $$y=y_{0}+tcos\beta$$ $$t\geqslant 0$$
设函数 $z=f(x,y)$在点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$的某个领域 $U(P_{0})$内有定义， $P(x_{0}+tcos\alpha,y_{0}+tcos\beta)$为 $l$上的另一点，且 $P\in U(P_{0})$。如果函数增量与点 $P$到点 $P_{0}$的距离比值 $$\frac{f(x_{0}+tcos\alpha,y_{0}+tcos\beta)-f(x_{0},y_{0})}{t}$$ 当 $P$沿着 $l$趋向于 $P_{0}(即t\rightarrow0^{+})$时的极限存在，则称此极限为函数 $f(x,y)$在点 $P_{0}$沿方向 $l$的方向倒数，即 $$\frac{\partial f}{\partial l} \mid_{(x_{0},y_{0})}=\lim_{t \rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+tcos\alpha,y_{0}+tcos\beta)-f(x_{0},y_{0})}{t}$$
证明： $f(x,y)$在点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$可微分，那么函数在该点沿任意方向导数 $l$都存在，且有 $$\frac{\partial f}{\partial l} \mid_{(x_{0},y_{0})}=f_{x}{(x_{0},y_{0})cos\alpha + f_{y}(x_{0},y_{0})cos\beta}$$
证：由假设，函数 $f(x,y)$在点 $(x_{0},y_{0})$可微分，故有 $$f(x_{0}+\Delta x，y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}})$$
在方向 $l$上，有 $\Delta x=tcos\alpha,\Delta y=tcos\beta, \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=t$ $$\frac{\partial f}{\partial l} \mid_{(x_{0},y_{0})}=\lim_{t \rightarrow 0^{+}}\frac{f(x_{0}+tcos\alpha,y_{0}+tcos\beta)-f(x_{0},y_{0})}{t}=f_{x}{(x_{0},y_{0})cos\alpha + f_{y}(x_{0},y_{0})cos\beta}$$

梯度

二元函数的情形下，设函数$f(x,y)$在平面区域D中具有一阶连续偏导数，则对于每一点$P_{0}(x_{0},y_{0})\in D$，都可定出一个向量

$$f_{x}(x_{0},y_{0})i+f_{y}(x_{0},y_{0})j$$ 这向量称为函数 $f(x,y)$在点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$的梯度，记为 $\nabla f(x_{0},y_{0})$
由 $$\frac{\partial f}{\partial l} \mid_{(x_{0},y_{0})}=f_{x}{(x_{0},y_{0})cos\alpha + f_{y}(x_{0},y_{0})cos\beta}=\nabla f(x_{0},y_{0}) \cdot e_{l}=\left |\nabla f(x_{0},y_{0}) \right |cos\theta$$
$$\theta=(\nabla f(x_{0},y_{0})\hat{,} e_{l})$$
因此得出结论：
当 $\theta=0$时，即单位向量 $e_{l}$的方向与梯度方向相同，函数 $f(x,y)$增加最快，函数在这个方向的方向导数达到最大值 $\frac{\partial f}{\partial l} \mid_{(x_{0},y_{0})}=\left |\nabla f(x_{0},y_{0}) \right |$；当 $\theta=\pi$时，即单位向量 $e_{l}$的方向与梯度方向相反，函数 $f(x,y)$减小最快，函数在这个方向的方向导数达到最小值 $\frac{\partial f}{\partial l} \mid_{(x_{0},y_{0})}=-\left |\nabla f(x_{0},y_{0}) \right |$

梯度下降优化

对参数$x和y$进行优化，从而使得$f(x,y)$得到最小值

对于每一次优化，$(x,y)$都会向当前减小最快的方向移动。首先计算$(x_{0},y_{0})$点的梯度$\nabla f(x_{0},y_{0})$

$$\nabla f(x_{0},y_{0})=f_{x}(x_{0},y_{0})i+f_{y}(x_{0},y_{0})j$$ 点 $(x_{0},y_{0})$沿梯度方向移动 $\eta \left |\nabla f(x_{0},y_{0}) \right |$的距离，其中 $\eta$是学习率，用于控制参数移动的多少。对应于： $$x:x-\eta f_{x}(x_{0},y_{0})$$ $$y:y-\eta f_{y}(x_{0},y_{0})$$
通过每一次的优化，参数 $x和y$就会逐渐移动到 $f(x,y)$最低点