粒子群算法概述
在实际工程优化问题中,多数问题是多目标优化问题。相对于单目标优化问题,多目标优
化问题的显著特点是优化各个目标使其同时达到综合的最优值。然而，由于多目标优化问题
的各个目标之间往往是相互冲突的，在满足其中一个目标最优的同时,其他的目标往往可能会
受其影响而变得很差。因此，一般适用于单目标问题的方法难以用于多目标问题的求解。
多目标优化问题很早就引起了人们的重视，现已经发展出多种求解多目标优化问题的方
法。多目标优化问题求解中最重要的概念是非劣解和非劣解集,两者的定义如下。
非劣解(noninferior solution):在多目标优化问题的可行域中存在一个问题解,若不存在
另一个可行解,使得一个解中的目标全部劣于该解，则该解称为多目标优化问题的非劣解。所
有非劣解的集合叫做非劣解集(noninferior set)。
在求解实际问题中,过多的非劣解是无法直接应用的,决策者只能选择其中最满意的一个
非劣解作为最终解。最终解主要有三种方法，第一种是求非劣解的生成法，包括加权法、约束
法、加权法和约束法结合的混合法以及多目标遗传算法,即先求出大量的非劣解,构成非劣解
的一个子集,然后按照决策者的意图找出最终解。第二种为交互法，主要为求解线性约束多目
标优化的Geoffrion法，不先求出很多的非劣解，而是通过分析者与决策者对话的方式,逐步
求出最终解。第三种是事先要求决策者提供目标之间的相对重要程度，算法以此为依据,将多
目标问题转化为单目标问题进行求解。
利用进化算法求解多目标优化问题是近年来的研究热点，1967年，Rosenberg就建议采
用基于进化的搜索来处理多目标优化问题,但没有具体实现。1975年,Holland提出了遗传算
法，10年后，Schaffer提出了矢量评价遗传算法，第一次实现了遗传算法与多目标优化问题的
结合。1989年，Goldberg在其著作《Genetic Algorithms for Search，Optimization，and Ma-
chine Learning》中,提出了把经济学中的Pareto理论与进化算法结合来求解多目标优化问题
的新思路,对于后续进化多目标优化算法的研究具有重要的指导意义。目前﹐采用多目标进化
算法求解多目标问题已成为进化计算领域中的一个热门方向,粒子群优化,蚁群算法、人工免
疫系统、分布估计算法、协同进化算法,进化算法等一些新的进化算法陆续被用于求解多目标
优化问题。本案例采用多目标粒子群算法求解多目标背包问题。
问题叙述与分析
求解和结果
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适应度计算
粒子适应度值参考式(10–1),每个个体的适应度值有两个,即价值和体积,同时个体须满
足质量约束。
筛选非劣解集
筛选非劣解集主要分为初始筛选非劣解集和更新非劣解集。初始筛选非劣解集是指在粒
子初始化后，当一个粒子不受其他粒子支配(即不存在其他粒子的P.,R。均优于该粒子)时，
把粒子放入非劣解集中,并且在粒子更新前从非劣解集中随机选择一个粒子作为群体最优粒
子。更新非劣解集是指当新粒子不受其他粒子以及当前非劣解集中粒子的支配时，把新粒子
放人非劣解集中,并且每次粒子更新前都从非劣解集中随机选择一个粒子作为群体最优粒子。
10.2.5粒子速度和位置更新
粒子更新公式如下:
vI = oV+cr,(P%—x)+czr:(P%-x*)
x1 =x+VuH1
其中,o为惯性权重;r，和r:为分布于[0，1]区间的随机数;k是当前迭代次数;P为个体
最优粒子位置﹔P‰a为全局最优粒子位置;c，和c:为常数;V为粒子速度;X为粒子位置。
粒子最优
粒子最优包括个体最优粒子和群体最优粒子,其中个体最优粒子的更新方式是从当前新
粒子和个体最优粒子中选择支配粒子，当两个粒子都不是支配粒子时,从中随机选择一个粒子
作为个体最优粒子。群体最优粒子为从非劣解集中随机选择的一个粒子。
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接下来是运算的结果图：
