前言
k空间是核磁共振成像图像重建的核心，可能很多人像笔者一样第一次学时会非常疑惑，为何k空间是图像的频域空间，观其填充过程，明明是空域信号的采样填充呀。网上很少有文章讨论这个问题，所以笔者在此写下自己的理解，供大家参考。
MRI位置编码
现在的MRI一次扫描的是一个断层或者多个断层，所谓断层就是一个有厚度的面，通过z方向梯度场来选择。我们扫描一个断层的目的是为了获得该断层各位置的质子情况，它们携带着组织的性质信息，反应出来的就是信号强度。如果整个断层都采用相同的磁场强度，而我们只能得到一个断层的总信号，这样显然无法区分哪个信号来自哪里，得到的只是一片混沌。要有差异才能区分，所谓的位置编码（频率编码和相位编码）就是用来制造这种差异的。通过加x和y方向的梯度场，让断层内每个位置的磁场强度都有差异（虽然两者不是同时加的，但是最终合起来的效果是让每个位置的磁场强度不同），由w=γB，磁场不同自旋频率就不同，这样每个位置的质子总磁矩就可以积累不同的相位，最后相位积累就成了分离总信号中各位置信号的依据。如图一所示(改自西电贾广老师课程PPT)的是在x、y方向分别独立加梯度场时，各位置只在梯度场磁场（不考虑主磁场）作用时间t下所积累的相位情况。
由于计算机性质，空间坐标是离散的，加上断层有厚度，所以每个位置都是由（x,y）确定的一个体素。这样，上述的位置也就是指这里的体素。在信号产生获取过程中，是先加y方向的梯度场一段时间，然后再加x方向的梯度场一定时间来实现位置编码的，容易知道，各体素在y方向与x方向梯度场的先后作用一定时间后的相位积累是两个方向分别作用相同时间的相位积累的和。现在我们假设某个体素（x,y）的信号强度为f(x,y)，且其为一正弦信号，那么该体素产生的信号s(x,y)，就可以用幅值与梯度场引起的相位通过式（1）表示：
由于每一次采到的信号都是各个体素信号的叠加，故采到的信号可以由式（2）给出。容易看出γ和G是常数，且x,y均被积掉了，所以总信号不是x，y的函数，而只能是x，y方向上梯度场作用时长t的函数。
k空间
k空间是磁共振图像重建的核心，是一个天才的发明，通过它可以快速的得到断层内各体素信号的强度分布f(x,y)，即核磁共振图像。观察采集到的断层总信号s的表达式，即式（2），可以发现其非常类似式（3）中二维的傅里叶表达式，于是天才的科学家就想到用傅里叶变换来处理这个问题。
此时若式（2）中令
则式（2）可以化为式（4），容易发现该式就是断层内各体素信号的强度分布f(x,y)，傅里叶变换到二维频域信号的表达式。如果每次采样得到的总信号值s，经过简单的变量替换后得到的值S，按照规定顺序填充到储存位置，那么填完之后将形成一个空间，由于其中的值是k的函数，故称之为k空间。显然，它一定是f（x,y）的频谱。（这样的变量代换可以直接通过硬件完成）
如果我们得到了频谱（即填充完了k空间），经过一次傅里叶反变换就可以得到f(x,y)即强度分布，即核磁共振图像。表达式如式（5）
注：k空间填充过程中，kx是通过采样时间tx来改变的，采样一次tx增加Δt，进而kx也增加Δkx，这也就是为什么采样一组信号值填充k空间一行，而ky是通过改变Gy来实现的，每经过一个TR改变ΔGy，进而改变Δky，即一个TR内ky是相同的，这也说明了为什么采样一组信号值填充k空间一行。
参考
https://www.bilibili.com/video/BV1JJ411W7Fv
https://www.dushu.com/book/13293977/