巴什博奕、威佐夫博弈、尼姆博奕、斐波那契博弈
组合博弈基础：三大基础博弈+斐波那契博弈
网上来证明这 3+1 种博弈的已经够多了，但有时直接的证明不一定会理解，最后还是要用刷题来间接理解。其实我个人的观点是，证明这种考量思维的细活完全可以当作拓展知识面、兴趣爱好什么的，一旦较真便很难看下去，平时动动笔玩玩博弈也不是不可以。所以这里我不多证明博弈，重在做题和结论。这篇仅仅是入门。
- 一、巴什博奕
取石子游戏一
有一种有趣的游戏，玩法如下：
玩家： 2人；
道具：N 颗石子；
规则：
游戏双方轮流取石子；
每人每次取走若干颗石子（最少取1 颗，最多取K颗）；
石子取光，则游戏结束；
最后取石子的一方为胜。
假如参与游戏的玩家都非常聪明，问最后谁会获胜？
输入格式
输入仅一行，两个整数 N和 K。
输出格式
输出仅一行，一个整数，若先手获胜输出 1，后手获胜输出 2。
样例
样例输入
23 3
样例输出
1
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k;
int main() {
scanf("%d %d", &n, &k);
if (n % (k + 1) == 0) cout << "2";
else cout << "1";
return 0;
}
规律总结：（PS：百度上有，直接复制了）
只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个，最后取光者得胜。当n和m取值为多少时，先手必胜？如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，1 ≤ s≤m那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。
所以判断先手必胜的条件： (n % (k + 1) ！= 0)
过于简单，不说明了。
- 二、威佐夫博弈
例题类型：
有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意个或同时从两堆中取同样多个物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
威佐夫博弈不同于Nim博弈与巴什博奕，它的特殊之处在于不能将两堆石子分开分析。
有一篇证明的挺好的，也有例题：博弈论之威佐夫博弈
证明并不烦，但不多解释。这里直接给出结论
*若两堆物品的初始值为(x，y)，且x<y，则另z=y-x；记w=（int)[ ( (sqrt(5)+1) /2 )z ]；若w=x，则先手必败，否则先手必胜。
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
int x,y;
cin>>x>>y;
int z=abs(y-x);
if((int)(((sqrt(5)+1)/2)*z)==min(x,y))
cout<<"后手必胜"<<endl;
else
cout<<"先手必胜"<<endl;
}
它引出了一个重要概念，博弈中经常用：奇异局势
三个性质：
1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
3、采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
单纯放出有点迷，但在这里奇异局势指：
我们用(a[k]，b[k])表示两堆物品的数量并称其为局势，显然(0，0)为必输局势，这种必输局势我们称为奇异局势。
前几个奇异局势是：（0，0）,（1，2）,（3，5）,（4，7）,（6，10）,（8，13）,（9，15）,（11，18）,（12，20）
a[k]为前k-1中的a[i]b[i]中未出现的最小非负整数 , b[k]=a[k]+k (a[0]=b[0]=0)
- 三、尼姆博弈
这个最有意思，要出题全是这类，有时会和巴什博奕相结合。之后我会这里一些尼姆博弈的变形体。这里先给出基础的。
例题：
给定n堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。
问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。
结论：若a1^a2…an==0 则先手必败。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int a1 = 2 , a2 = 3 ;
if(a1^a2==0) puts("Win");
else puts("Lose");
return 0;
}
特征：
1.有两名选手；
2.两名选手交替操作，每次一步，每步都是在有限的合法集合中选取一种进行；
3.在任何情况下，合法操作只取决于情况本身，与选手无关；
4.游戏的败北条件为：当某位选手需要进行操作时，当前没有任何可以执行的合法操作，则该选手败北。
所以它有很多变形题。有点像背包问题了，不过本质抓住就可以了。
- 四、斐波那契博弈
有一堆石子,两个人轮流从其中取走一定的石子,取走最后所有石子的人为赢家,不过得遵循如下规则:
1.第一次取不能取完,至少取1颗.
2.从第二次开始,每个人取的石子数至少为1,至多为对手刚取的石子数的两倍。
结论：当n为Fibonacci数时，先手必败。否则先手必败