LeetCode刷题第5天之《64 最小路径和》

LeetCode 64 最小路径和

题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每一次只能向下或者向右移动一步。

示例

输入：[[1, 3, 1], [1, 5, 1], [4, 2, 1]]

输出：7

解释：1->3->1->1->1的总和最小为7

题目解析

有了求三角形最短路径和的经验，该题求在长方体中的最短路径和的思路也是类似的。也是采用动态规划的思想，将问题划分为更小规模的问题进行求解。具体思路如下：

1. 既然是采用动态规划的方式求解，首先要做的就是找出其递推方程，下面先使用图示来模拟出程序可能出现的每一个结果，以此推导出我们要的递推方程。

   • 创建一个dp[n]的数组，用来保存每一行中到达每一个格子的最短路径。这里没有创建一个和输入一样大小的二维数组同样是使用到了“滚动数组”的概念，即重复的对该数组的值重新赋值。

   • 计算第一行每一个格子的数据。由于第一行中的格子只能由其右边格子走到，因此计算结果如下：用dp数组中数据来替换格子中的数据，此时dp = {1, 4, 5};

• 计算接下去中每个格子的数据，其中由于第一格子的路径和只能由其上面格子的得到，因此可以提前计算出来，即是累加起来。

对于接下去的格子，它可能是由其左边和上边格子得来，这个时候就要比较这两种走法路径和哪个最下了。如下：可以结合上图来看。

其最短路径路线即如下图：

上述每一行的数据变化都是指dp数组中数据的变化。

• 通过模拟一遍就可以发现地递推的一个过程了

  首先，第一行中的数据可以采用如下递推式：

  dp[i] = dp[i - 1] + grid[0] [j];

  接着，下面每一行的第一数据可以采用如下递推式：

  dp[0] = dp[0] + grid[i] [0];

  其他格子的递推式如下：

  dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - 1]) + grid[i][j];
  

  最后将dp[n - 1]返回即是我们想要的答案。

程序实现

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = grid[0][0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i] = grid[0][i] + dp[i - 1];
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

程序运行结果

时间复杂度为：O(n^2)

空间复杂度为：O(n)

PS: 不知是有了一些写动态规划题目的经验还是题目比较简单，现在看到类似的题目不再像以前看到动态规划的名称就发慌，不管怎么样还是得多练咯~