【复习笔记】数据结构之图

一、顶点的度

• 对于无向图，顶点的度 = 依附于该顶点的边的数量
• 对于有向图，入度 = 出度 = 边的数量

二、顶点—顶点关系的描述

三、连通图与强连通图

四、子图

五、连通分量

六、生成树

$n$个点，$n-1$条边，边再多就形成回路

七、几种特殊形态的图

无向完全图、有向完全图

树、森林、有向树

八、图的存储

1.邻接矩阵法

对于不带权无向图，求顶点的度时，只需要对某行或某列求和即可
对于不带权有向图，对行求和表示顶点的出度，对列求和表示顶点的入度

邻接矩阵的性质

2. 邻接表法

邻接表和邻接矩阵的对比：

3. 十字链表法

只能存储有向图，一个结构体表示一条边

九、图的遍历

1. 广度优先遍历（BFS）

• 访问初始结点
• 访问初始结点所有的相邻结点
• 根据这些相邻的结点，再次挨个访问他们相邻的结点
  

为了能遍历到非连通图的所有结点，我们检查$visited$数组，找到没有遍历到的结点，从该结点开始调用$BFS$：

广度优先生成树

根据遍历的顺序，构造生成树

邻接表中结点顺序不同，构造的生成树也不同。用邻接矩阵构造的生成树必唯一。

2. 深度优先遍历（DFS）

类似于树的先序遍历。

图的DFS： 遍历一个点，然后遍历与该点相邻的第一个点，接着再遍历与正在遍历结点第一个相邻的且未被访问的结点，如此下去，直到某个遍历的结点不存在没遍历的结点，然后返回上层。上层接着遍历相邻的第二个未被访问的结点

同样地，为遍历到非连通图的所有结点，我们检查$visited$数组，找到没有遍历到的结点，从该结点开始调用$DFS$：

复杂度分析

深度优先生成树

根据深度优先遍历的顺序，构造生成树

图的遍历与图的连通性

无向图

有向图

十、最小生成树

1. 相关概念

连通图的生成树： 包含图中全部顶点的一个极小连通子图，若图中含有$n$个顶点和$n-1$条边。对于生成树而言，减少一条边，则变得不连通。加上一条边，则形成回路。

2. Prim算法

从某个顶点开始构建生成树，每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止。同一个图构建的 最小生成树不唯一。

3. Kruskal算法

每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头连通（原本已经连通就不选），直到所有结点都连通。

算法对比

十一、最短路径问题

1.Dijkstra算法

初始化工作：将源点放入$S$集合，修改布尔型数组$S$。对于与源点相邻的结点，更新$dist$数组。对于不相邻的结点，$dist$值为无穷

每次在$S$集合中加入$1$个点，每次找到不在$S$集合中且距离源点最近的点加入到$S$。加入后更新不在$S$集合中的点与源点的距离，即$dist$数组与$prev$数组。

参考代码

注： Dijkstra不能解决带负权值的图

2. Floyd算法

注： Floyd不能解决带负权值的图

十二、有向无环图

答案选A：

构造有向无环图步骤

三个加号的操作数相同，合并3个加号：
右侧两个乘号的操作数相同，合并2个乘号：

注： 不同层的运算符不可能合并