图（Graph）
——2017.12.23
一、 什么是图
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表示多对多的关系
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包含
a) 一组定点：通常用V（Vertex）表示顶点集合
b) 一组边：通常用E（Edge）表示边的集合
（v，w）∈E，无向边 <v，w>表示v指向w的边
- 无向图/有向图，带权重的图称为网络
二、 邻接矩阵表示
- 邻接矩阵
用一个长度为N（N+1）/2的一维数组存储
例题：有N个顶点的无向完全图有多少条边？N（N-1）/2
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邻接点：有边直接相连的顶点
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有向图的度
出度：从该点出发的边数为出度，指向该点的边数为入度
三、 邻接表表示
- 邻接表
四、 图的遍历
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深度优先搜索（Depth First Search）
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广度优先搜索（Breadth First Search）
五、 最短路径
- 最短路径问题抽象：在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中边的权值之和最小的那一条路径
a) 第一个顶点为：源点
b) 最后一个顶点为：终点
- 问题分类
a) 单源最短路径问题：从某固定源除法，求其到所有其他顶点的最短路径
无权图/有权图
b) 多源最短路径问题：求任意两顶点间的最短路径
- 无权图的单源最短路径算法
按照递增的顺序找出到各个顶点的最短路
有权图的单源最短路算法
有权图的单源最短路亦被称为Dijkstra算法（单源最短路径），首先要声明这个算法无法解决含有负值圈的图
六、 最小生成树（Minimum Spanning Tree）
- 什么是最小生成树
a) 是一个无回路的树,|V|个顶点一定有|V|-1条边
b) 是生成树，|V-1|条都在图里
- 贪心算法
a) 什么是贪：每一步都是最好的
b) 什么是好：权重最小的边
c) 需要约束：
i. 只能用图里有的边
ii. 只能正好用掉|V|-1条边
iii. 不能有回路
d) Prim算法
e) Kruskal算法——将森林合并成书
七、 拓扑排序
- 什么是拓扑排序
a) 拓扑序：如果图中从V到W有一条有向路径，则V一定排在W之前。满足此条件的顶点序列称为一个拓扑序
b) 获得一个拓扑序的过程就是拓扑排序
c) AOV如果有合理的拓扑序，则必定是有向无环图
- 关键路径问题
a) 由绝对不允许延误的活动组成的路径
