【水动力学】02 一维河道建模

建模背景

记录原因

本文是前文矩形河道水动力学建模的后续，介绍了一般河道如何建立一维水动力学数值模拟模型。

模拟工况

单一河道，江阴以下长江干流，断面为不规则形状，糙率都取n=0.025，初始水深为-10m，初始流量为0，时间步长300s，模拟总时间24h，重力加速度g取9.81m/s²。资料见附件。

边界条件

上边界条件：水位恒定为-5m；
下边界条件：水位恒定为-15m。
无旁侧如流。

所需资料

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重要的事情说三遍！

模型结构

圣维南方程组

连续方程：$$\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{\partial Q}{\partial x}=0$$

动量方程：$$\frac{\partial Q}{\partial t}+\frac{\partial Qu}{\partial x}+gA\frac{\partial Z}{\partial x}+gA{S}_f=0$$

式中：$A$为断面面积；$Q$为通过断面的流量；$u$为断面流速；$g$为重力加速度；

$Z$为水位；$S_f$为摩阻比降，$S_f=\frac{n^{2}Q|Q|}{A^2{R}^{\frac{4}{3}}}$。

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一般河道简化为
连续方程：$$B\frac{\partial Z}{\partial t}+\frac{\partial Q}{\partial x}=0$$

动量方程：$$\frac{\partial Q}{\partial t}+u\frac{\partial Q}{\partial x}+gA\frac{\partial Z}{\partial x}+g\frac{n^{2}Q|u|}{R^{\frac{4}{3}}}=0$$

式中：$Z$为水位；$Q$为流量；$B$为过水断面宽度；$u$为过水断面流速；$A$为过水断面面积；$n$为河道糙率；$g$为重力加速度；$R$为水力半径。

Preissmann隐式差分格式

简化四点线性隐格式
$$f{|}_M=\frac{f_{j+1}^n+f_j^n}{2}$$

$$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_M=\theta (\frac{f_{j+1}^{n+1}-f_j^{n+1}}{\Delta x})+(1-\theta )(\frac{f_{j+1}^n-f_j^n}{\Delta x})$$

$$\frac{\partial f}{\partial t}{|}_M=\frac{f_{j+1}^{n+1}+f_j^{n+1}-f_{j+1}^n-f_j^n}{2\Delta t}$$

式中：$\theta$为加权系数，$0\le \theta \le 1$。$\theta =0$为显式；$0<\theta <1$为半隐式；$\theta =1$为全隐式。$0.5\le \theta \le 1$时离散稳定。

离散形式

本文采用全隐式格式，即取$\theta =1$。
$$\frac{\partial Z}{\partial t}\approx \frac{\Delta Z}{\Delta t}=\frac{Z_{i+\frac{1}{2}}^{t+1}-Z_{i+\frac{1}{2}}^t}{\Delta t}=\frac{\frac{Z_i^{t+1}+Z_{i+1}^{t+1}}{2}-\frac{Z_i^t+Z_{i+1}^t}{2}}{\Delta t}$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x}\approx \frac{\Delta Q}{\Delta x}=\frac{\left[\theta Q_{i+1}^{t+1}+\left(1-\theta \right)Q_{i+1}^t\right]-\left[\theta Q_i^{t+1}+\left(1-\theta \right)Q_i^t\right]}{\Delta x}=\frac{Q_{i+1}^{t+1}-Q_i^{t+1}}{\Delta x}$$

$$u=\frac{u_i^t+u_{i+1}^t}{2}$$
$$Q=\frac{Q_i^t+Q_{i+1}^t}{2}$$

方程组离散

将离散形式代入简化的圣维南方程组中，可以得到圣维南方程组的Preissmann离散形式
连续方程：
$$B\frac{Z_i^{t+1}+Z_{i+1}^{t+1}-Z_i^t-Z_{i+1}^t}{2\Delta t}+\frac{Q_{i+1}^{t+1}-Q_i^{t+1}}{\Delta x}=0$$
$$Z_i^{t+1}-\frac{1}{B}\frac{2\Delta t}{\Delta x}{Q}_i^{t+1}+Z_{i+1}^{t+1}+\frac{1}{B}\frac{2\Delta t}{\Delta x}{Q}_{i+1}^{t+1}=Z_i^t+Z_{i+1}^t$$
动量方程：
$$\frac{Q_i^{t+1}+Q_{i+1}^{t+1}-Q_i^t-Q_{i+1}^t}{2\Delta t}+u\frac{Q_{i+1}^{t+1}-Q_i^{t+1}}{\Delta x}+gA\frac{Z_{i+1}^{t+1}-Z_i^{t+1}}{\Delta x}+\frac{g{n}^2|u|}{R^{\frac{4}{3}}}\frac{Q_i^{t+1}+Q_{i+1}^{t+1}}{2}=0$$
$$-gA\frac{2\Delta t}{\Delta x}{Z}_i^{t+1}+(1-u\frac{2\Delta t}{\Delta x}+\frac{g{n}^2|u|\Delta t}{R^{\frac{4}{3}}})Q_i^{t+1}+gA\frac{2\Delta t}{\Delta x}{Z}_{i+1}^{t+1}+(1+u\frac{2\Delta t}{\Delta x}+\frac{g{n}^2|u|\Delta t}{R^{\frac{4}{3}}})Q_{i+1}^{t+1}=Q_i^t+Q_{i+1}^t$$
设方程组形式如下：
$$A{Z}_i^{t+1}+B{Q}_i^{t+1}+C{Z}_{i+1}^{t+1}+D{Q}_{i+1}^{t+1}=C_1$$
$$E{Z}_i^{t+1}+F{Q}_i^{t+1}+G{Z}_{i+1}^{t+1}+H{Q}_{i+1}^{t+1}=C_2$$
$\lambda =\frac{2\Delta t}{\Delta x}$，则各系数为：
$$A=1,B=-\frac{1}{B}\lambda ,C=1,D=\frac{1}{B}\lambda ,C_1=Z_i^t+Z_{i+1}^t$$
$$E=-gA\lambda ,F=1-u\lambda +\frac{g{n}^2|u|\Delta t}{R^{\frac{4}{3}}},G=gA\lambda ,H=1+u\lambda +\frac{g{n}^2|u|\Delta t}{R^{\frac{4}{3}}},C_2=Q_i^t+Q_{i+1}^t$$

边界条件离散

上下边界可以是水深或单宽流量，在五对角矩阵的第一行和最后一行添加即可。
五对角矩阵$Ax=B$形式如下：
$$\underset{A}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccccccccccc}1& 0& 0& 0& \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & 0\\ A_{1-2}& B_{1-2}& C_{1-2}& D_{1-2}& & & & & & & \\ E_{1-2}& F_{1-2}& G_{1-2}& H_{1-2}& & & & & & & \\ & & A_{2-3}& B_{2-3}& C_{2-3}& D_{2-3}& & & & & \\ & & E_{2-3}& F_{2-3}& G_{2-3}& H_{2-3}& & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & A_{(n-1)-n}& B_{(n-1)-n}& C_{(n-1)-n}& D_{(n-1)-n}\\ & & & & & & & E_{(n-1)-n}& F_{(n-1)-n}& G_{(n-1)-n}& H_{(n-1)-n}\\ 0& \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & 0& 0& 1& 0\end{array}\right)}}\underset{x}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{Z}_1\\ Q_1\\ Z_2\\ Q_2\\ Z_3\\ Q_3\\ \\ \\ \\ \\ Z_n\\ Q_n\end{array}\right)}}=\underset{B}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}{Z}_1(t)\\ C_{1(1-2)}\\ C_{2(1-2)}\\ C_{1(2-3)}\\ C_{2(2-3)}\\ \\ \\ \\ \\ C_{1[(n-1)-n]}\\ C_{2[(n-1)-n]}\\ Z_n(t)\end{array}\right)}}$$

模型求解

利用Matlab矩阵求解器可以得到五对角矩阵的解。

Matlab程序

下载附件，运行General_river.m。 版本：MATLAB R2016a

%--------------------------------------------------
%2019.11.12最后修改
%模拟工况：一维不规则河道水动力学建模
%边界条件：上游水位为-5m，下游水位为-15m，初始水位-10m，初始流量为0。
%程序思路：先将断面数据处理成数据表，每隔0.5m确定大断面的河宽、过水面积、湿周和水力半径
%         然后对圣维南方程组进行Preissmann离散，最后求解五对角矩阵即得各断面水位和流量。
%--------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
%定义变量及初始化

clc,clear;

%导入断面原始测量数据，共115个断面，每个断面给出了若干个起点距和高程对
load('data.mat'); 

%设置大断面水位间距dh,T为计算时间段(s)，dt为时间步长（s）,a,c:连续方程离散后的系数，
%Zu、Zd分别为上下游水位，q0为河道初始流量，n0为糙率
dh=0.5;T=24*3600;dt=300;a=1;c=1;Zu=-5;Z0=-10;Zd=-15;q0=0;g=9.81;n0=0.025;

%以下为矩阵分配存储空间
%data(1,1)为断面总数，n为河段总数，N为断面数*2即Zi,Qi变量总数，t为时间分段数，x为Zi,Qi解向量
n=data(1,1)-1;N=2*data(1,1);t=ceil(T/dt);x=zeros(1,N);

%B：五对角矩阵方程的常数项，I,J,K,M,O:五对角矩阵A的五列
B=zeros(1,N);I=zeros(1,N);J=zeros(1,N-1);K=zeros(1,N-2);M=zeros(1,N-1);O=zeros(1,N-2);

%Z，Q分别为模拟时段内的水位和流量过程，X：水位、流量组合矩阵
Z=zeros(t+1,n+1);Q=zeros(t+1,n+1);X=zeros(N,t+1);

%x解向量初始化
for i=1:2:N
    x(i)=Z0;x(i+1)=q0;
end
%上下边界水位初始化
x(1)=Zu;x(N-1)=Zd;
%将初始时刻的解向量放入组合矩阵中存储
X(:,1)=x';

%初始化B,I,J,M向量
B(1)=Zu;B(N)=Zd;
I(1)=1;I(N)=0;
J(1)=0;M(N-1)=1;
%--------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
%处理大断面实测数据data，处理结果为各个断面的二维表，含有每增加0.5m水深，
%对应的水面宽度、水面面积、湿周、水力半径

%先转置原矩阵，再将矩阵各列合并成一个长的列向量
AA=data';BB=AA(:);

%将列向量BB分成两列的矩阵Combinedata
%使若干个起点距和高程对能够对齐
for i=2:2:size(BB)
    Combinedata(i/2,1)=BB(i-1,1);
    Combinedata(i/2,2)=BB(i,1);
end 

%处理断面间距，Combinedata(17,1)数据表示第一个断面距离河道起点的距离，以此类推
%nsection表示断面数量
nsection=Combinedata(1,1);
for i=1:1:nsection
    dx(i)=Combinedata(17+230*(i-1),1); 
end 
%差分求相邻断面间距,存储在dx向量中
dx=diff(dx);

%生成每个断面的数据表
for i=1:1:nsection 
    
    %把一个断面的起点距和高程数据赋值给临时矩阵
    temp=Combinedata(31+230*(i-1):233+230*(i-1),:);
    
    %第二列的最小值及行号，即为大断面最低点
    [min_value,min_row]=min(temp(:,2));
    
    %由于起点处有堤坝，而河道对岸没有堤坝，所以大断面最后一个测量点的高程总是小于第一个
    %因此需要找到次最大值，即大断面最后一个测量点的高程，以便确定断面数据表的行数
    max_value=max(temp(min_row:end,2));
    
    %nrow表示断面数据表格的行数
    %Sct为断面数据总表
    %前五列分别为水位、水面宽、过水断面面积、湿周和水力半径，
    %往后就是第二个断面的水位、水面宽、过水断面面积、湿周和水力半径，以此类推
    nrow=ceil((max_value-min_value)/dh)+1;
    Sct(1:nrow,1+5*(i-1):5+5*(i-1))=zeros(nrow,5);
    
    for j=1:1:nrow 
        
        %水位
        z=min_value+dh*(j-1);
        
        %Plus_minus记录断面各点高程与所给水位的大小关系，用-1和0表示
        Plus_minus=diff(temp(:,2)>z);
        
        %记录下由正转负的零点位置
        bigtosmall=find(Plus_minus==-1);
        
        %记录下由负转正的零点位置
        smalltobig=find(Plus_minus==1);
        
        %判断正零点和负零点的个数是否相同
        %是为了防止次最大值并不是对岸最后一点，而是最大值右方某个凸起
        %这是应该在最右岸添加一个提防
        if numel(bigtosmall)>numel(smalltobig) 
            smalltobig(numel(bigtosmall),1)=size(temp,1);
            temp(size(temp,1)+1,1)=temp(end,1);temp(end,2)=z;
        end
        
        %生成断面数据表
        for k=1:1:size(bigtosmall)
            
            %求左边交点起点距
            dl=temp(bigtosmall(k)+1,1)-(z-temp(bigtosmall(k)+1,2))*(temp(bigtosmall(k)+1,1) ...
                -temp(bigtosmall(k),1))/(temp(bigtosmall(k),2)-temp(bigtosmall(k)+1,2));
            
            %求右边交点起点距
            dr=temp(smalltobig(k),1)+(z-temp(smalltobig(k),2))*(temp(smalltobig(k)+1,1) ...
                -temp(smalltobig(k),1))/(temp(smalltobig(k)+1,2)-temp(smalltobig(k),2));
            
            %Width表示相应水深的水面宽
            Width=dr-dl;
            
            %计算过水断面面积
            darea=(z-temp(bigtosmall(k)+1,2))*(temp(bigtosmall(k)+2,1)-dl)/2 ...
                +(z-temp(smalltobig(k),2))*(dr-temp(smalltobig(k)-1,1))/2;
            %累加梯形面积
            for m=bigtosmall(k)+2:1:smalltobig(k)-1 
                darea=darea+(z-temp(m,2))*(temp(m+1,1)-temp(m-1,1))/2;
            end
            
            %计算湿周
            dwetcycle=sqrt((temp(bigtosmall(k)+1,1)-dl)^2+(temp(bigtosmall(k)+1,2)-z)^2) ...
                +sqrt((temp(smalltobig(k),1)-dr)^2+(temp(smalltobig(k),2)-z)^2);
            %累加湿周
            for n=bigtosmall(k)+2:1:smalltobig(k) 
                dwetcycle=dwetcycle+sqrt((temp(n,1)-temp(n-1,1))^2+(temp(n,2)-temp(n-1,2))^2);
            end
            
            %分别为水位、水面宽、过水断面面积、湿周和水力半径
            Sct(j,1+5*(i-1))=z;
            Sct(j,2+5*(i-1))=Sct(j,2+5*(i-1))+Width;
            Sct(j,3+5*(i-1))=Sct(j,3+5*(i-1))+darea;
            Sct(j,4+5*(i-1))=Sct(j,4+5*(i-1))+dwetcycle;
            Sct(j,5+5*(i-1))=Sct(j,3+5*(i-1))/Sct(j,4+5*(i-1));
        end 
    end
end

%--------------------------------------------------
%分为t个时间层循环，求解五对角矩阵
for k=1:1:t 
    for i=1:2:N-2
        
        %利用差分确定前后断面与相应水位的大小关系
        p_m1=diff(Sct(:,1+5*(i-1)/2)>x(i));
        p_m2=diff(Sct(:,6+5*(i-1)/2)>x(i+2));
        %记录下前一个断面由负转正的零点位置
        stob1=find(p_m1==1);
        %记录下后一个断面由负转正的零点位置
        stob2=find(p_m2==1);
        
        %Zu1表示内插后上断面水位较小值，Zu2表示上断面水位较大值
        Zu1=Sct(stob1,1+5*(i-1)/2);
        Zu2=Sct(stob1+1,1+5*(i-1)/2);
        %x(i)表示上断面实际水位，alpha表示上断面的(Z-Z1)/(Z2-Z1)
        alpha=(x(i)-Zu1)/(Zu2-Zu1);
        
        %Zd1表示内插后下断面水位较小值，Zd2表示下断面水位较大值
        Zd1=Sct(stob2,6+5*(i-1)/2);
        Zd2=Sct(stob2+1,6+5*(i-1)/2);
        %x(i+2)表示下断面实际水位，beta表示下断面的(Z-Z1)/(Z2-Z1)
        beta=(x(i+2)-Zd1)/(Zd2-Zd1);
        
        %Bu1表示内插后上断面水面宽较小值，Bu2表示上断面水面宽较大值，Bu表示上断面实际水面宽
        Bu1=Sct(stob1,2+5*(i-1)/2);
        Bu2=Sct(stob1+1,2+5*(i-1)/2);
        Bu=Bu1+alpha*(Bu2-Bu1);
        %Bd1表示内插后下断面水面宽较小值，Bd2表示下断面水面宽较大值，Bd表示下断面实际水面宽
        Bd1=Sct(stob2,7+5*(i-1)/2);
        Bd2=Sct(stob2+1,7+5*(i-1)/2);
        Bd=Bd1+beta*(Bd2-Bd1);
        %Baverage表示上下断面水面宽平均值
        Baverage=(Bu+Bd)/2;
        
        %Au1表示内插后上断面过水面积较小值，Au2表示上断面过水面积较大值，Au表示上断面实际过水面积
        Au1=Sct(stob1,3+5*(i-1)/2);
        Au2=Sct(stob1+1,3+5*(i-1)/2);
        Au=Au1+alpha*(Au2-Au1);
        %Ad1表示内插后下断面过水面积较小值，Ad2表示下断面过水面积较大值，Ad表示下断面实际过水面积
        Ad1=Sct(stob2,8+5*(i-1)/2);
        Ad2=Sct(stob2+1,8+5*(i-1)/2);
        Ad=Ad1+beta*(Ad2-Ad1);
        %Aaverage表示上下断面过水面积平均值
        Aaverage=(Au+Ad)/2;
        
        %uu表示上断面流速，ud表示下断面流速，x(i+1)、x(i+3)分别表示Qi、Q_i+1
        uu=x(i+1)/Au;ud=x(i+3)/Ad;
        %uaverage表示上下断面平均流速
        uaverage=(uu+ud)/2;
        
        %Ru1表示内插后上断面水力半径较小值，Ru2表示上断面水力半径较大值，Ru表示上断面实际水力半径
        Ru1=Sct(stob1,5+5*(i-1)/2);
        Ru2=Sct(stob1+1,5+5*(i-1)/2);
        Ru=Ru1+alpha*(Ru2-Ru1);
        %Rd1表示内插后下断面水力半径较小值，Rd2表示下断面水力半径较大值，Rd表示下断面实际水力半径
        Rd1=Sct(stob2,10+5*(i-1)/2);
        Rd2=Sct(stob2+1,10+5*(i-1)/2);
        Rd=Rd1+beta*(Rd2-Rd1);
        %Raverage表示上下断面水力半径平均值
        Raverage=(Ru+Rd)/2;
        
        %计算B向量各元素，B(i+1),B(i+2)分别为河段上下断面水位和流量之和即C1，C2
        B(i+1)=x(i)+x(i+2);
        B(i+2)=x(i+1)+x(i+3);
        
        %lambda表示网格比
        lambda=2*dt/dx((i+1)/2);
        %计算五对角阵对角线向量I,分别为B,G
        I(i+1)=-lambda/Baverage;I(i+2)=g*Aaverage*lambda;
        
        %计算对角线上一行向量J,分别为C,H
        J(i+1)=c;
        J(i+2)=1+uaverage*lambda+g*n0*n0*abs(uaverage)*dt/Raverage^(4/3);
        
        %计算对角线上两行向量K
        K(i)=0;K(i+1)=-I(i+1);
        
        %计算对角线下一行向量
        M(i)=a;M(i+1)=J(i+2)-2*uaverage*lambda;
        
        %O为对角线下两行向量.O(i)为方程组系数E,E=-G，O(i+1)为0已经初始化
        O(i)=-I(i+2);
    end
    
    %构造五对角矩阵A
    A=diag(I)+diag(J,1)+diag(K,2)+diag(M,-1)+diag(O,-2);
    %解五对角矩阵差分方程组并赋给X向量存储
    X(:,k+1)=A\B';
    %更新解向量
    x=X(:,k+1)';
end

%--------------------------------------------------
%从组合矩阵X中提取出水位Z和流量Q
%X的每一列表示一个时段的计算结果
%Z,Q的每一行表示一个时段的计算结果
for i=1:2:N
j=(i+1)/2;
Z(:,j)=X(i,:)';Q(:,j)=X(i+1,:)';
end  

%绘制出水位和流量三维图
figure(1);
mesh(Z);
xlabel('河段n');
ylabel('时间k/300s');
zlabel('水位/m');

figure(2);
mesh(Q);
xlabel('河段n');
ylabel('时间k/300s');
zlabel('流量(m^2/s)');

%--------------------------------------------------