五、线性规划单纯形法的一个例子

1、一个简单示例

查看如下线性规划方程及约束：

这不是方程形式，但我们可以通过添加松弛变量将其设为方程形式：

添加松弛变量（s1、s2、s3）形成了一组简单的基本变量：

每个变量只显示在一个方程中。并基本解是 $(x, y, s_1, s_2, s_3) = (0, 0, 3, 2, 7)$ ，是可行的。如果有类似 $Ax \leq b$ 这样的不等式的时候，其中 $b \geq 0$ ，添加松弛变量是有用的。

下面是生成的表格，以及一个可行区域图（x 和 y 中的原始 LP），并标记了相应的基本可行解：

在一个严谨的二维线性程序中，每个顶点都应该有对应于非基本变量的两个严格的约束。在这个表格中，非基本变量是 x 和 y，它们“拥有”的约束是 x ≥ 0 和 y ≥ 0 约束。所以我们应该在这两个约束紧密的角落或顶点：x = 0 和 y = 0 的交点。

让我们以 y 为中心，将其带入基础。（这是一个任意的选择：我们也可以以 x 为中心。）因为 $s_2$ 的 y 系数是 -2，所以它不满足约束， $s_1$ 和 $s_3$ 的比率为 3/1 和 7/1，其中最小的是 3。所以 y 替换了基础中的 $s_1$ ，为我们提供了下面的新表格（和新角点）：

基本可行解为 $(x, y, s_1, s_2, s_3) = (0, 3, 0, 8, 4)$ 。新表格的非基本变量是 x 和 $s_1$ 。和以前一样，x “拥有” x ≥ 0 约束。同时， $s_1$ “拥有” $s_1 \geq 0$ 约束，但在原始线性规划中，这是 -x + y ≤ 3 约束。所以我们要的是 x = 0 和 -x + y = 3 相交的角落，就是 (0, 3) 处。

转动变量的选择对应于选择我们绕多边形的方向：我们使用 (0, 0) 中的哪条边。从 (0, 0) 到 (0, 3) 的边远离y ≥ 0 约束，因此y成为基本的变量。我们也可以将x带入基础，远离 x ≥ 0 约束。

但是现在，在 (0, 3) 处，只有一个好的转动选择。我们不想回到 (0, 0)，所以唯一的选择是继续顺时针。在表格中，这对应于我们不希望在 $s_1$ 上旋转的方式（其减少的成本是负数，因此旋转会减少 z）。相反，转动的唯一有用选择是 x，其降低的成本是正的。

在 x 的列中，y 和 $s_2$ 的系数都是负的，所以它们不能留。因此 x 替换了基础中的 $s_3$ ，为我们提供了下面的新表格（和新角点）：

现在所有减少的成本都是负数，所以 z 最大化并且 (2, 5) 是最优解。（这里， $s_1$ 和 $s_3$ 是非基本的。它们“拥有”的约束是 -x + y ≤ 3 约束和 x + y ≤ 7 约束。所以我们最终到达线 -x + y = 3 和 x + y = 7 相交处。）

如果我们决定首先以 x 为轴心，我们将得到相同的最终答案，但会绕可行区域逆时针旋转，需要三个转动步骤。

2、无界线性规划

让我们退一步，回到我们在点 (0, 3) 的时候。但是现在，假设约束 x + y ≤ 7（对应于变量 $s_3$ ）不存在。然后画面和可行区域将如下所示：

可行域在我们想要去的方向上是无界的。

以 x 为中心仍然是一个可行的方案。但是现在，两个基本变量在第一阶段都被排除了：它们在 x 的列中都有一个负系数。没有可供选择的变量。

这就是线性规划无界时的样子，z 可以任意大。没有最优解。

从上图中，我们也可以了解到线性规划是如何无界的。为此，让我们写下当我们增加 x（输入变量）同时保持 $s_1$ （另一个非基本变量）为 0 时会发生什么的方程式。然后我们有

换句话说，当我们以 x 为轴心时，我们沿着 y = x + 3 线行进；具有松弛变量的完整解的变化为 (x, y, s1, s2) = (x, x + 3, 0, x + 8)。

当我们执行单纯形法的任何转动步骤时，因为 x 列的系数都是负数，所以 y = x + 3 和 $s_2$ = x + 8 的斜率都是正数，这意味着我们可以无限制地增加 x。由于 x 的成本为 5，因此我们知道这给了我们任意大的目标值：更准确地说，点 (x, y, s1, s2) = (x, x + 3, 0, x + 8) 有 z 的目标值 = 5x + 9。

每当我们从表格中得知线性规划是无界的时，我们就可以执行这样的分析来找到无限的可行解，沿着这些可行解，目标值会无界地提高。

3、退化旋转的一个例子

现在假设我们用约束 x + 2y ≤ 6 替换 x + y ≤ 7 约束。这是初始表和可行域图：

约束 −x+y ≤ 3 几乎不相关。线 -x+y = 3 在角点 (3, 0) 接触可行区域，并且不会改变任何东西的可行性。

我们可以像以前一样继续，将 y 带入基础。和以前一样， $s_2$ 不在考虑之列，因为它在 y 的列中有一个负系数。同时， $s_1$ 和 $s_3$ 的比率为 3/1 和 6/2，因此它们因比率最小而并列。当我们增加 y 时， $s_1$ 和 $s_3$ 将减少并同时达到 0。

在这种情况下我们选择哪个变量？目前，我们无法判断哪种选择更好，但任何一种选择都会给我们一个有效的画面。让我们选择 $s_1$ ，因为这是我们上次所做的。我们得到：

这就是事情开始出错的地方。我们应该以 x 为中心，因为它是唯一降低成本的变量。 y 和 $s_2$ 在 x 的列中都有负系数，所以离开变量必须是 $s_3$ 。但是当我们做到这一点时，变量的值不会改变！

问题是 x = 0、-x + y = 3 和 x + 2y = 6 这三条线都在 (0, 3) 点相交。以前，当 x 和 $s_1$ 是非基本的时，我们想到 (0, 3) 作为 x = 0 和 -x + y = 3 的交集。现在， $s_1$ 和 $s_3$ 是非基本的，我们已经“移动”到 -x + y = 3 和 x + 2y = 6 的交集。这是也是 (0, 3)。

这称为退化旋转。退化旋转存在一个大问题是，通常，我们可以说：单纯形法总是在提高 z 的值，所以它永远不会重新访问一个顶点，并且由于只有有限多个顶点，它最终必须到达正确的一个。对于退化的旋转，z 的值并不总是提高。所以我们不能保证单纯形法不会永远持续下去，停留在以不同方式表示的同一个顶点。

在这个例子中，我们将在一步之后离开点 (0, 3)。但在更复杂的例子中，当许多约束在一个顶点处相遇时，为了避免永远停留在那个顶点的情况，我们需要制定避免无限循环的旋转规则，通过告诉我们在出现平局的情况下从基础中删除的正确变量。