【07】图的数据结构

一、邻接矩阵的定义
逻辑结构分为两部分：V和E集合，其中，V是顶点，E是边。因此，用一个一维数组存放图中所有顶点数据；用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵。
（1）无向图的邻接矩阵

（2）有向图的邻接矩阵


特点：
有向图邻接矩阵不一定对 称；
有向图中 ： 顶点 vi 的出度是邻接矩阵中第 i 行中 1 的个数。
顶点 vi 的入度是邻接矩阵中第 i 列中 1 的个数。
（3）网的邻接矩阵

2.邻接矩阵复杂度分析
（1）时间复杂度
边查找：对于查找图中任两个顶点i和j之间有无边，以及边上的权值，可根据i, j的值随机查找，时间复杂性为O(1)。
顶点度计算：计算一个顶点的度（或入度、出度）和邻接点，其时间复杂性为O(n)。
（2）空间复杂度：O(n2)
如果用来表示稀疏图，则会造成较大的空间浪费。
二、邻接表
图的邻接矩阵表示法虽然有其自身的优点，但当图的边数较少时，邻接矩阵就会出现大量的0元素，存储这些0元素将耗费大量的存储空间。因此，对于稀疏图，可以用邻接表去存储。
1.邻接表的定义
邻接表是一种顺序存储与链式存储相结合的存储方法，顺序存储部分用来保存图中顶点的信息，链式存储部分用来保存图中边（或弧的信息）。
（1）无向图的邻接表

（a）若无向图中有 n 个顶点、e 条边，则其邻接表需 n 个头结点和2e 个表结点。所以无向图的边数等于所有表结点个数之和的一半。
（b）无向图中顶点 vi 的度为第 i 个单链表中的结点数目。
（2）有向图的邻接表

邻接表的特点：
（1）有向图中顶点 vi 的出度为第 i 个单链表中的结点数目。
（2）顶点 vi 的入度为整个单链表中邻接点域值是i 的结点个数。
找出度易，找入度难。
（3）图的弧数等于所有表结点个数之和。
为了便于求顶点的入度，可以定义逆邻接表：以顶点vi为终点建立邻接表。

逆邻接表的特点：
（1）顶点 vi 的入度为第 i 个单链表中的结点个数。
（2）顶点 vi 的出度为整个单链表中邻接点域值是i 的结点个数。
找入度易，找出度难。
2. 邻接表的空间复杂度分析
在图的邻接表和逆邻接表表示中，
（1）表头需要占用n个头结点的存储空间，所有边结点需要占用2e（对于无向图）或e（对于有向图）个边结点空间，所以其空间复杂度为O(n+e)。
（2）邻接表用于表示稀疏图比较节省存储空间，因为只需要很少的边结点，若用于表示稠密图，则将占用较多的存储空间，同时也将增加顶点的查找结点时间。