买卖股票的最佳时期II（冷冻期

问题描述

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。​
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:

示例：

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

思路描述

此题符合动态规划的特点，每一步的选取受其他位置影响，利用动态规划的思想这题不但可以更好地解决，也可以为这类题目提供了一个解决方案。具体思路如下：
(1) 只需要定义两个数组hold[n],sell[n]（n表示问题的规模），前者表示第i天手里还持有股票所能获得的最大利润，后者表示第i天手里没有股票所能获得的最大利润
(2) 以示例举例来看，有hold和sell两个数组，hold[0]表示第一天手里有股票的最大利润，显然，此时只能买入才能有股票，因此hold[0] = -prices[0]，同时，第一天不可能就卖出股票，因此sell[0] = 0。到了第二天，hold[1]想要有股票，要不就是维持hold[0]的股票，要不就是看当前股票价格是否更低（能否获得更大利润），所以hold[1] = max(hold[0],-prices[1])，这里-prices[1]是因为之前并没有卖出去股票，只能买入，利润当然为负。sell[1]表示当天没有股票，只有两种情况，要不前一天本身就没有股票并且当天也没买，要不就是之前有股票并且今天卖出去了，因此综合下来得出sell[1] = max(sell[0],hold[0]+prices[1])，后面的过程以此类推
(3) 上述过程可以得到dp的转移方程，如下：

第i天持有股票 hold[i] = max(hold[i-1],sell[i-2]-prices[i])
第i天不持有股票 sell[i] = max(sell[i-1],hold[i-1]+prices[i])

(4) 在编程实现转移方程需要注意初始条件，因为方程里有i-1,i-2这两种状态，所以应该要对初始条件进行判断，也就是(2)里面说的过程

C++实现本题的dp解法

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
         if(prices.size()<2) return 0;
         int len = prices.size();
         vector<int> sell(len,0);
         vector<int> hold(len,0);
         hold[0] = 0-prices[0];
         for(int i=1;i<prices.size();i++){
             if(i-2>=0) hold[i] = max(hold[i-1],sell[i-2]-prices[i]);
             else hold[i] = max(hold[i-1],-prices[i]);
             sell[i] = max(sell[i-1],hold[i-1]+prices[i]);
         }
        return sell[len-1];
    }
};

本题dp解法的优化解

从dp解法中应该注意到了第i天的利润只需要i-1和i-2的状态即可，而不需要前面所有的状态，也就是说可以把空间复杂度从o(n)降到o(1)，维护前面两个状态即可实现该解法

常数空间的解法

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int hold = INT_MIN, pre_hold = 0, sell = 0, pre_sell = 0;
        for (int price : prices) {
            pre_hold = hold;
            hold = max(pre_sell - price, pre_hold);
            pre_sell = sell;
            sell = max(pre_hold + price, pre_sell);
        }
        return sell;
        
    }
};