函数的奇偶性、周期性和单调性

本篇内容，函数的单调性、对称性、奇偶性、周期性。

单调性

设区间D
单调递增： 对任意的x₁，x₂∈D，当x₁<x₂恒有f(x₁)<f(x₂)
单调递减： 对任意的x₁，x₂∈D，当x₁<x₂恒有f(x₁)>f(x₂)

对称性

轴对称

f(x)关于x=x_a轴对称的含义：若(x₁+x₂)/2=x_a (x_a为常数)，则f(x₁)=f(x₂)

比如f(1+x)=f(-2-x)，(1+x)+(-2-x)=-1,所以f(x)关于x=-(1/2)对称

中心对称

f(x)关于(a,b )中心对称的含义：若(x₁+x₂)/2=a ，则[f(x₁)+f(x₂)]/2=b

奇偶性

奇函数

奇函数的性质

1. 定义域关于原点对称
2. f(x)+f(-x)=0 <=> f(-x)=-f(x)
3. 关于(0,0)对称
4. 奇函数f(0)不一定存在，如果f(0)存在，f(0)=0

偶函数

偶函数的性质

1. 定义域关于原点对称
2. f(-x)-f(x)=0 <=> f(-x)=f(x)
3. 关于x=0对称

敲黑板：只有奇次幂的函数是奇函数，只有偶次幂的函数是偶函数，任意函数都可以拆分为一个奇函数和一个偶函数的和
证明：
例题
证明f(x)=x+x²为一个奇函数和一个偶函数之和

不仅非奇非偶函数可以拆分为一个奇函数和一个偶函数之和，奇函数（或偶函数）也可以如此拆分，结果一部分为奇函数（或偶函数）另一部分为0

周期性

f(x)以T为周期的性质

1. f(x+T)=f(x)
2. f(x-T)=f(x)
3. T为周期，2T、3T…nT都是周期

周期性的数学描述
若x₁-x₂=T，则f(x₁)=f(x₂)<=>以T为周期

f(x)以t为反周期的性质
emmm“反周期”这个名字引用了永乐大帝的自制概念，实际上是没有这个东西的，具体是什么东西往下看吧。

1. f(x+t)=-f(x)
2. f(x-t)=-f(x)
3. T=2t
   到这应该知道t是个什么了，爱怎么叫都行，我就叫他反周期（有时候也叫小周期 doge）
   反周期的数学描述
   若x₁-x₂=t，则f(x₁)=-f(x₂)<=>以t为反周期

小结

辨识下列函数分别代表什么性质？
①f(1+x)+f(1-x)=0
②f(1+x)-f(1-x)=0
③f(x+1)+f(x-1)=0
④f(x+1)-f(x-1)=0

解析：
①(1+x)+(1-x)=2,对称性，f(1+x)+f(1-x)=0,和为常数，点对称，f(x)关于(1,0)点对称
②(1+x)+(1-x)=2,对称性，f(1+x)-f(1-x)=0，差为常数，或f(1+x)=f(1-x)，函数值相等，轴对称，f(x)关于x=1轴对称
③(x+1)-(x-1)=2,周期性，f(x+1)=-f(x-1)，反周期t=2，周期T=4
④(x+1)-(x-1)=2,周期性，f(x+1)=f(x-1)，周期T=2
敲黑板 干货来了
对称、周期、奇偶之间的关系，上图

我把这个图叫三角关系图，还是两个三角关系，图中共有6个关系,刺不刺激？好了上解释。
以左边为例，如果已知一个函数为奇函数，反周期为2a，则其对称轴为x=a；如果已知一个函数为奇函数，对称轴为x=a，则反周期为2a；如果一个函数有对称轴x=a，反周期为2a可得次函数为奇函数。

举其中一个关系的例子证明，已知函数f(x)为偶函数，且f(x)关于x=a轴对称，证明T=2a
∵f(x)关于x=a对称
∴f(x)=f(2a-x)
∵f(x)为偶函数
∴f(2a-x)=f(x-2a)
得 f(x)=f(x-2a)

总结

本篇内容为函数的对称性、奇偶性和周期性，先说奇偶性，后面两个对照理解

• 奇偶性：首先无论奇偶，定义域关于原点对称，偶函数有f(x)-f(-x)=0，奇函数有f(x)+f(-x)=0，奇函数还有一条，不一定在x=0处有定义，比如反比例函数f(x)=1/x就是奇函数，但在x=0处没有定义，但是如果奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0
• 对称性和周期性：判断对称性和周期性，首先看自变量的关系，然后看函数值的关系。若自变量和为常数即为对称性，函数值和为常数——点对称；函数值相等——轴对称。若自变量差为常数，即为周期性，函数值相等为周期，函数值相反为反周期。