NOIP2016普及组初赛经典难题详解

NOIP PJ 2016

$15$. 若某简单无向图有 $16$条边且每个点的入度均为 $2$，求该无向图的定点数。

答案: $16$

分析: 考虑对于每条边，对总入度之和的贡献均为 $2$(一条边连接两个顶点)，故各个点的总入度为 $16×2=32$。

由于每个点的入度均为 $2$，故有 $\frac {32} 2=16$条边。

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$16$. 有八个一模一样的苹果，放到 $3$个一样的盘子中有多少种放法。

答案: $8$。

分析: 有一下几种方法:

①0 1 6
②0 2 5
③0 3 4
④1 1 5
⑤1 2 4
⑥1 3 3
⑦2 2 3
⑧0 0 7

易漏: ⑥⑦⑧。

同时，通过组合数学也可以得到相同的答案。

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19. 周末小明和爸爸妈妈三个人一起想动手做三道菜。小明负责洗菜, 爸爸负责切菜, 妈妈负责炒菜。假设做每道菜的顺序都是: 先洗菜 10 分钟，然后切菜10分钟，最后炒菜10分钟。那么做一道菜需要30分钟。注意：两道不同的菜的相同步骤不可以同时进行。例如第一道菜和第二道的菜不能同时洗， 也不能同时切。那么做完三道菜的最短时间需要多少分钟?

答案: 50

分析: 经典的最优化策略问题。

考虑尽可能得不让人闲着。定义三个菜分别为 $1,2,3$，列出表格:

	小明	爸爸	妈妈
1-10	①
11-20	②	①
21-30	③	②	①
31-40		③	②
41-50			③

故最少需要 $50$分钟。

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$21.$ 在一个 $4×4$的棋盘上选择两个不在同一列也不在同一行的两个鸽格子，有多少种选法?

答案: $72$。

分析: 简单的乘法原理。

首先第一个格子有 $4×4=16$种放法。由于这两个鸽格子不在同一列也不在同一行，所以第二个格子有 $(4-1)×(4-1)=9$种选法。

注意，通过常识发现棋盘上任何两个格子都是相同的，所以答案还要除以 $2$，即 $\frac {16×9} 2=72$种选法。

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$22$. 求:
①节点数为 $2016$的二叉树最少的叶子节点个数；
②节点数为 $2016$的二叉树最小高度。

答案: ①1 ②11
分析: 一道简单的构造题。

①考虑构造一条长度为 $2016$的链，其叶子节点个数为 $1$；
②考虑构造一个完全二叉树，其高度为 $\lceil log_2 2016 \rceil=11$。

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$23$. 阅读程序

答案: $6,1,3$
分析: 挖了巨坑……本蒟蒻差点跳进去……

①看到 $0$的时候 $count$没有变化；
②输出的是逗号，而不是句号；
③ $\frac {sum} {count}$做的是向下取整的整除运算，因为 $sum$与 $count$都是整型变量。

其他的模拟即可，并无难度。

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$27.$ 完善程序(快读+输出)

答案: 见分析

分析:
①显然是 $cin.get()$，表示把字符 $c$读入；前面已经有提示了。

②本蒟蒻这题错了QAQ( $-3$)……这里，我们读入了第一个数字字符，需要用它来初始化 $num$。显然是 $num=c-'0'$，即 $num$刚开始为 $c$表示的数字；

③要求的是数字字符，故应该为c>=‘0’&&c<=‘9’。

④根据位值原理，这里应该填 $num=(num*10)+(c-'0')$。

⑤这里发现它是负数，故要转换成负数，即 $num=-num$。

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$24.$ 阅读程序(二分+贪心, 时间复杂度 $O(nlog_2n))$

答案: 见分析

分析: 作为压轴题，本题还是有一定难度的。

①本蒟蒻又双叒叕错了……贪心地，从第 $n-nn+1$位学生开始拿自行车。之所以不从第 $1$位开始拿，是因为根据排序原则，此时第 $1$位的钱数一定比第 $n-nn+1$位学生的少，对于同样数量同样加强的自行车，显然要贪心地让 $n-nn+1$号学生先拿，而本蒟蒻却傻逼地填了匪夷所思的 $1$……注意提示了贪心判断。

②此时，如果某位学生自己的钱不够用了，就用公共的钱。即应填 $M_i<c_j$；

③如果需要用的公共的钱不大于 $A$元，那么这种情况就可以，否则不可以。故应填 $count≤A$。

④此时，根据后面的 $ans=mid$可以知道， $mid$的情况是可以的；故填 $check(mid)$，而不是 $!check(mid)$；

⑤根据二分的写法以及上文 $l=mid+1$的对称提示，这里应填 $r=mid-1$。

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本蒟蒻总分: 90.5

好菜啊……继续努力吧