关于树的重心——由NOIP2016提高组初赛一题引发的思考

在刷初赛的过程中，发现了有一道读程序写结果题貌似是图论。题目如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int map[100][100];
int sum[100], weight[100];
int visit[100];
int n;
void dfs(int node)
{
    visit[node] = 1;
    sum[node] = 1;
    int v, maxw = 0;
    for (v = 1; v <= n; v++)
    {
        if (!map[node][v] || visit[v])
            continue;
        dfs(v);
        sum[node] += sum[v];
        if (sum[v] > maxw)
            maxw = sum[v];
    }
    if (n - sum[node] > maxw)
        maxw = n - sum[node];
    weight[node] = maxw;
}
int main()
{
    memset(map, 0, sizeof(map));
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    memset(weight, 0, sizeof(weight));
    memset(visit, 0, sizeof(visit));
    cin >> n;
    int i, x, y;
    for (i = 1; i < n; i++)
    {
        cin >> x >> y;
        map[x][y] = 1;
        map[y][x] = 1;
    }
    dfs(1);
    int ans = n, ansN = 0;
    for (i = 1; i <= n; i++)
        if (weight[i] < ans)
        {
            ans = weight[i];
            ansN = i;
        }
    cout << ansN << " " << ans << endl;
    return 0;
}

然后本人就一脸懵逼了：这道题究竟想要我们干什么？难不成要手动模拟吗？由于本蒟蒻很懒，所以首先放弃了手动模拟的做法。然后我就到网上搜了一下，发现了一个奇怪的东西：树的重心。

根据百度百科，树的重心的定义是：

找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心。

通俗来说，这句话的意思就是在一棵树上找到一个节点，删去这个节点后，所构成的树中节点个数最多的那棵树的节点要尽量少（也就是剩下的树的节点个数要尽可能平衡），那么我们把它称之为这棵树的重心。同时根据百度百科，我们显然也可以知道它的性质：

树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个重心，他们的距离和一样。
把两棵树通过一条边相连，新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
一棵树最多有两个重心，且相邻。

那么如何来求树的重心呢？其实就是DFS找到每个节点的最大子树，然后标记一下子树的节点个数。最后输出的时候选最大子树节点个数最小的那个点即为树的重心。

所以回归到这道初赛题结果就显而易见了。

关于树的重心——由NOIP2016提高组初赛一题引发的思考

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