Kickstart Round A 2017

Problem A. Square Counting

Description

Mr. Panda has just been given a grid with R rows and C columns of dots. How many different squares can he find in this grid? Since the number might be very large, please output the answer modulo 109 + 7 (1000000007).

Algorithm

比赛开始时取了个外卖，然后推公式推了很久。对于十二三分钟就做出来这题的人我只能表示佩服。

首先计算 R == C 的情况。

• 边长为1的小正方形有 (C-1) * (C-1) 个，每一个的内部边上的斜正方形有 0 个；
• 边长为2的小正方形有(C-2) * (C-2)个，每一个的内部边上的斜正方形有 1 个；
• …
• 边长为(C-1)的小正方形有 1 * 1 个，每一个的内部边上的斜正方形有 (C-2) 个.

即

$$\sum_{k=1}^{C-1} {(C-k)}^2(1+k-1)=\sum_{k=1}^{C-1}{k^2}(C-k)$$
整理之后用平方和公式和立方和公式可以得到
$$f(C, C) = \frac{C^2(C^2-1)}{12}$$

然后不妨假设 R > C, 则对于多出来的每一行，需要加上的正方形有：

• 边长为1的：(C-1) 个，每一个里面斜的正方形有 0 个，
• 边长为2的: (C-2) 个，每一个里面斜的正方形有 1 个，
• …
• 边长为 (C-1) 的: 1 个，每一个里面斜的正方形有 (C-2) 个.

即需要加上

$$\sum_{k=1}^{C-1}{(C-k)+(C-k)(k-1)}=\sum_{k=1}^{C-1}{k(C-k)}$$
整理一下，然后乘以 (R-C) 之后加到 $f(C, C)$ 上就是 f(R, C) 了。
答案需要模 $10^9+7$，large的数据需要小心精度。我错了。结束之后发现了，改了又改还是不对，怀疑需要高精度？最后想起来python，直接写了公式求，是对的。

最后

我太弱了，3 hour 只做出来这一题的small数据。
第二题正则匹配没写好。
其他题再说吧。