变换
文章资源及内容来自 闫令琪博士的GAMES101课程
什么是变换？
这里的变换分成两种类型的变换
-Modeling:模型变换
-Viewing:视角变换（3D to 2D）
2D变换
2D变换顾名思义就是在二维空间中的变换，包括缩放，旋转，切变等等
二维的变换最主要的是要把矩阵，和变换联系起来
Scale
首先，我们认识一下缩放变换
我们看到两张图，它的左下角在世界的原点（0，0），接下来我们要做一个缩放，把它变小
对于这个例子来说，横轴和纵轴都缩放了0.5，都变为原来的二分之一，那么它写成数学形式就是
我们之前学过线性代数，对于这两个式子，我们可以写成矩阵形式如下
这就是缩放矩阵。
如果说，我们的缩放不是均匀的，假如说X和Y缩放的各不相同，比如下图
X的缩放是按照0.5的比例来缩放，Y的不变
也就是X和Y是不均匀的缩放，我们来看一下它的矩阵
X和Y虽然是不均匀的缩放，但是我们仍然可以写成这种对角矩阵的形式
只要Sx和Sy不相同就可以了。这里的Sx对应的就是0.5，Sy对应的就是1。
这就是对于一个非均匀的缩放的表示
Reflection Matrix
我们这里说一下反射操作，也就是对称操作
我们看到左边这张图，相对于Y轴会经过一个反转，就会得到右边的图
相对于Y轴，做一个反转，表示成数学形式是什么呢？
也就是说，原本给了一个X，然后反映在新的图上会变成-X
也就是说新的坐标X’=-x，然后Y坐标不变
我们可以试着写出它的矩阵形式，如下
我们把它写成矩阵，到后面会很方便
Shear Matrix
我们这里提到一个相对于困难的变换——切边（shear）
我们把左图，拽着上面的边，向右拉，然后我们发现这张图被拉的变歪了，就会形成右边这样一个结果
这个结果我们仍然可以通过分析，得到它的矩阵
我们观察这个图，可以发现
1.竖直方向来看，对于任何一个点来说，它的纵坐标并没有发生变换
所以，有一个式子已经可以写出来了，Y’=Y，因为Y方向根本没有任何操作
2，水平方向来看，如果Y=0，水平方向并没有发生任何变化
我们可以看到，最底下的便，也就是Y=0时，在X轴上，并没有任何的变化，也就是说，任何一个点，只要它在最底下的边，它的水平方向的移动，都是0
3.水平方向来看，如果Y=1，水平方向移动 a
我们可以看到，原本的左上角的点，水平方向从0变成了a，原本的右上角的点，水平方向假如说是1，变成了1+a。
也就是说，最上面的边上任何一个点水平方向都移动了a个单位
我们可以看一下中间的点，假如Y=0.5时，那么水平方向的移动是2/a
也就是说，水平方向到底移动了多少呢？应该移动了a乘以Y个位置
如果写成矩阵，得到
也就是说，任何一个水平方向的移动，都是a乘以Y
这样的话就等于是X’=X+aY，Y‘=Y，写成矩阵形式如上
我们可以从上面得到一个规律，我们要想写出一个变换，就要找出对应，找出变换之前的X,Y与变换之后的X’，Y’这两者之间的一一对应关系，找到这样的关系，自然就能写出这个变换了
Rotation
这里我们说一个更复杂的变换，也是非常常见的变换——旋转
这里我们说的旋转，说的是在二维平面内的旋转
我们规定两个事情
1.任何时候我们说旋转，不说别的信息，我们就默认认为是围绕原点（0，0）进行的旋转
2.如果不规定旋转方向，我们默认是逆时针方向
如图
旋转也是一种变换，那么旋转的 公式应该怎样去写出来呢？
我们可以看下面的例子
这就是我们看到的旋转矩阵的结果了。
那么旋转矩阵我们是如何得到的呢？这里我们做一个简单的推导
我们上面说，最重要的是要找到两个点的一一对应关系，（X,Y）是怎样变成（X’,Y’）的
那么我们如何得到这矩阵的四个数呢？
首先，图形上任意的点都符合旋转公式
那么。既然任意一点都符合旋转公式，我们可以对一些特殊的点来求他们的关系
这里，特殊的点指(1,0)红色标注
这个点旋转之后会转到右图的位置上，并且我们知道旋转的角度是θ角度，
而且旋转了，肯定不会改变它的边长，我们知道上图正方形的边长是1，那么旋转之后的边长也是1
三角函数告诉我们，我们知道斜边是1，并且有一个锐角是θ，那么我们就知道另外的两边是什么。
一个是cosθ，一个是sinθ，这样一来我们就知道了原本的(1,0)被旋转成了（cosθ，sinθ).
我们假设矩阵的四个数为A,B,C,D，然后我们有下面的式子
然后我们发现A=cosθ，C=sinθ,也就是说我们用了一个特殊的点(1,0)，然后用了一个三角函数，我们就可以得到A和C是多少
同样道理，我们只需要考虑另外一个特殊的点，就可以得出B和D的值
Linear Transforms = Matrices
我们由以上可以得到一些共同的点
上面几个运算，都可以写成下面的形式
也就是x’是a与b的线性组合，y’是c和d的线性组合，
写成矩阵形式如下
如果我们可以写成上面的形式，就是矩阵乘以输入的坐标，可以得到输出的坐标那我们就管这种变换叫做线性变换。
齐次坐标
为什么 要提到齐次坐标呢？
因为有一种变换比较特殊——平移变换
Translation
我们看下图
我们看到左边的图经过了一个平移得到了右面的图
X方向移动了tx，Y方向移动了ty
看上去很简单，我们可以写出它的关系式
写出来之后，我们发现，这个式子虽然很简单，但是存在一个问题
我们发现这个式子不能写成向上面一样的矩阵形式
我们只能把它写成以下形式
我们为什么要加上一个tx，ty呢？
我们可以看到前面的矩阵与x，y相乘都会得到一个线性的结果
而平移的结果则是，X加上一个常数，Y加上一个常数，也就是说这个矩阵并不能表示这样一种操作，所以只能在后面加上一个tx和ty
如果这个变换只有平移的话，那么abcd的矩阵就是个单位矩阵，也就是a、b、c、d分别对应1、0、0、1
也就是说，通过这种形式，才可以表示一个平移的操作
这样很麻烦，而且平移操作并不属于线性变换。所以平移虽然简单，但是却是一个特殊的情况
但是，我们不希望平移成为 一个特殊的情况
那么有没有办法把所有的变换放在一起表示呢？
我们试图去找到一个统一的方法去表示各种变换——引入齐次坐标
Homogeneous Coordinates
我们在二维空间中，在原本的维度上再增加一个维度
为什么要把点和向量区别对待呢？
向量表示一个方向性，向量具有平移不变性，无论向量怎样平移，还表示原来的向量。
为了使经过矩阵运算后不变，而点的表示，假如（x,y,w)在齐次坐标中实际上是（x/w,y/w,1）(w≠0，若w=0则表示向量）
那么我们就有了，若点+点，则表示两个点的中点（w=1+1）
我们发现当把(x,y)变成(x,y,1)的时候有了一个非常好的性质，如下所示
我们发现左边的矩阵乘以（x,y,1）后会变右边的矩阵，我们发现这正是我们要的平移的变换
也就是说我们通过引入齐次坐标，增加一个数的方式，把平移变换也写成这样一个矩阵乘以向量的形式
其它的线性变换也可以写成这样的形式
Affine map = linear map + translation
我们把线性变换和平移变换一起，叫做仿射变换
而所有的仿射变换，都可以写成下面的矩阵的齐次坐标形式
我们可以看到在齐次坐标中，我们只需要用一个矩阵乘以一个向量，就能得到一个新的向量
这样的话，我们就用一个矩阵，统一了所有操作
如果我们用齐次坐标去表示仿射变化，它的最后一行，永远都是0、0、1，它的平移永远是写在最后一列的前两个数上，左边还有一个2x2的abcd表示线性变换
我们可以用齐次坐标来表示一下常见的几种变换
Scale
Rotation
Translation
