15.二分查找（上）

15.二分查找（上）：如何用最省内存的方式实现快速查找功能？

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假设我们有 1000 万个整数数据，每个数据占 8 个字节，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这 1000 万数据中？ 我们希望这个功能不要占用太多的内存空间，最多不要超过 100MB，你会怎么做呢？

1.二分查找

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

二分查找的时间复杂度为 $O(logn)$

** $O(logn)$这种对数时间复杂度，有时候比 $O(1)$的算法还要高效。**因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，这个数很大了吧？大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。我们前面讲过，用大 O 标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说，O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。同理，指数时间复杂度的算法在大规模数据面前是无效的。

2.二分查找的递归与非递归实现

用循环实现二分查找代码：

public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;

  while (low <= high) {
    int mid = (low + high) / 2;
    if (a[mid] == value) {
      return mid;
    } else if (a[mid] < value) {
      low = mid + 1;
    } else {
      high = mid - 1;
    }
  }

  return -1;
}

容易出错的地方：

1.循环条件是 $low<=high$，而不是 $low<high$。

2.mid取值。实际上，mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。

3.low和high的更新。low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3]不等于 value，就会导致一直循环不退出。

用递归实现二分查找

// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
  return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}

private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
  if (low > high) return -1;

  int mid =  low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] == value) {
    return mid;
  } else if (a[mid] < value) {
    return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
  } else {
    return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
  }
}

3.二分查找的局限性

首先，二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。

**其次，二分查找针对的是有序数据。**如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。但是，如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。那针对动态数据集合，如何在其中快速查找某个数据呢？别急，等到二叉树那一节我会详细讲.二分查找更适合处理静态数据，也就是没有频繁的数据插入、删除操作。

**再次，数据量太小不适合二分查找。**如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，我都推荐使用二分查找。

**最后，数据量太大也不适合二分查找。**太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。解答开篇

4.解答开篇

假设我们有 1000 万个整数数据，每个数据占 8 个字节（B)，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这 1000 万数据中？ 我们希望这个功能不要占用太多的内存空间，最多不要超过 100MB，你会怎么做呢？

我们的内存限制是 100MB，每个数据大小是 8 字节，最简单的办法就是将数据存储在数组中，内存占用差不多是 80MB，符合内存的限制。借助今天讲的内容，我们可以先对这 1000 万数据从小到大排序，然后再利用二分查找算法，就可以快速地查找想要的数据了。

5.思考题

1.如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后 6 位。

二分法求根号5

a:折半： 5/2=2.5

b:平方校验: 2.5*2.5=6.25>5，并且得到当前上限2.5

c:再次向下折半:2.5/2=1.25

d:平方校验：1.25*1.25=1.5625<5,得到当前下限1.25

e:再次折半:2.5-(2.5-1.25)/2=1.875

f:平方校验：1.875*1.875=3.515625<5,得到当前下限1.875

每次得到当前值和5进行比较，并且记下下下限和上限，依次迭代，逐渐逼近平方根。

因为要精确到后六位，可以先用二分查找出整数位，然后再二分查找小数第一位，第二位，到第六位。

整数查找很简单，判断当前数小于+1后大于即可找到，

小数查找举查找小数后第一位来说，从x.0到(x+1).0，查找终止条件与整数一样，当前数小于，加0.1大于，

后面的位数以此类推，可以用x*10^(-i)通项来循环或者递归，终止条件是i>6，

想了一下复杂度，每次二分是logn，包括整数位会查找7次，所以时间复杂度为7logn。空间复杂度没有开辟新的储存空间，空间复杂度为1。

2.如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高，那查找的时间复杂度究竟是多少呢？如果你自己推导一下，你就会深刻地认识到，为何我们会选择用数组而不是链表来实现二分查找了。

第二题：
假设链表长度为n，二分查找每次都要找到中间点(计算中忽略奇偶数差异):
第一次查找中间点，需要移动指针n/2次；
第二次，需要移动指针n/4次；
第三次需要移动指针n/8次；
…
以此类推，一直到1次为值

总共指针移动次数(查找次数) = n/2 + n/4 + n/8 + …+ 1，这显然是个等比数列，根据等比数列求和公式：Sum = n - 1.

最后算法时间复杂度是：O(n-1)，忽略常数，记为O(n)，时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同

但是稍微思考下，在二分查找的时候，由于要进行多余的运算，严格来说，会比顺序查找时间慢

6.参考

这个是我学习王争老师的《数据结构与算法之美》所做的笔记，王争老师是前谷歌工程师，该课程截止到目前已有87244人付费学习，质量不用多说。

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本人做的笔记并不全面，推荐大家扫码购买课程进行学习，而且课程非常便宜，学完后必有很大提高。