概率论第二、三章题目

2020，03，12

3、某工厂产品的不合格率为0.03，现要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100件合格品，那么每箱至少应装多少件产品？

$根据题意，假设有100+x件产品，其中有k件次品$

$\sum_{k=0}^{x}C_{100+x}^k0.03^k*0.97^{100+x-k}\geq0.9$

$∵二项分布不方便计算，∴可以用泊松分布来近似求解$

$∵x不会很大，∴(100+x)*0.03\approx 3，∴λ=3$

$有\sum_{k=0}^x\frac{3^k}{k!}e^{-3}\geq0.9$

$k大概是5的样子$

4、 $设A为曲线y=2x-x^2与x轴所围成的封闭区域，在A中任取一点，求该点到y轴的距离 t 的分布函数及密度函数$

$①t\leq 0，P\{x\leq t\}=0$

$②t\geq 2，P\{x\leq t\}=1$

$③0<t<2，P\{x\leq t\}=\frac{∫_0^t(2t-t^2)dt}{∫_0^2(2x-x^2)dx}=\frac{3x^2-x^3}{4}$

$∴t的分布函数=F_X(x)= \begin{cases} 0 &\text{x≤0}\\ \frac{3}{4}x^2-\frac{1}{4}x^3 &\text{0< x < 2}\\ 1&\text{x≥2}\\ \end{cases}$

$∴t的概率密度=f_X(x)= \begin{cases} \frac{3}{2}x-\frac{3}{4}x^2 & \text{0<x<2}\\ 0&\text{其他}\\ \end{cases}$

参考：https://zhidao.baidu.com/question/1734677140991479667.html
https://wenku.baidu.com/view/8ca15d14a66e58fafab069dc5022aaea998f4132.html

2020，03，17

1、 $设X服从参数λ>0的指数分布，求Y = [x]的分布$

$可以看出Y是离散型的，可以直接计算分布律$

$P\{Y = k\}=P\{[x]=k\}=P\{k≤x<k+1\}=∫_k^{k+1}λe^{-λx}dx$

$∫_k^{k+1}λe^{-λx}dx=-e^{-λx}|_k^{k+1}=-e^{-λ(k+1)}+e^{-λk}$

2、 $设随机变量X～N(0, 1)，Y=X或-X，视|X|≤1或|X|>1而定，求Y的分布$

$用到的性质：正态分布φ(x)+φ(-x)=1$

$Y= \begin{cases} X &\text{|x|≤ 1}\\ -X &\text{|x|>1} \end{cases}$

$①当y<-1时，P\{Y\leq y\}=P\{-X\leq y\}=P\{X\geq -y\}=1-P\{X<-y\}=1-φ(-y)=φ(y)$

$②当-1\leq y \leq 1时，P\{Y\leq y\}=P\{Y<-1\}+P\{-1\leq Y\leq y\}=P\{Y<-1\}+P\{-1\leq X\leq y\}=φ(-1)+φ(y)-φ(-1)=φ(y)$

$③当y>1时，P\{Y\leq y\}=P\{Y<-1\}+P\{-1\leq Y\leq 1\}+P\{1<Y<y\}=P\{Y<-1\}+P\{-1\leq Y\leq 1\}+P\{-y<X<-1\}=φ(-1)+φ(1)-φ(-1)+φ(-1)-φ(-y)=1-φ(-y)=φ(y)$

$综上所述，Y=φ(y)$

3、 $设X～N(0,1)，分别求e^X和|X|的概率密度函数$

$1）因为X ～ N(0,1)，所以f(x)=\frac{1}{\sqrt{2pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}，x∈(-∞, +∞)$

$∴y=e^x∈(0, +∞)，x=lny，x'=\frac{1}{y}$

$f_Y(y)=f_X(x)*x'=\frac{1}{y\sqrt{2pi}}e^{-\frac{lny^2}{2}}，y∈(0,+∞)$

$∴f_Y(y)= \begin{cases} \frac{1}{y\sqrt{2pi}}e^{-\frac{lny^2}{2}} &\text{ y∈(0,+∞)}\\ 0 &\text{其他} \end{cases}$

$2）f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}，x∈(-∞, +∞)，y∈[0,+∞)$

$F_Y(y)=P \{Y \leq y\}=P\{|X|\leq y\}=P\{-y \leq X \leq y \}=F_X(y)-F_X(-y)$

$f_Y(y)=F_Y'(y)=[F_X(y)-F_X(-y)]'=F_X'(y)-F_X'(-y)(-1)=F_X'(y)+F_X'(-y)=f_X(y)+f_X(-y)$

$⭐题型总结：已知X的概率密度，求Y的概率密度$

$1）当Y单调可导时$

$①先根据X的定义域求出Y的定义域$

$②再求出x关于y的导数$

$③最后f_Y(y)=f_X(y)=f_X(x)*x'，将x和x'关于y的表达式代入即可$

$写出概率密度函数，不要漏掉其他的情况$

$2)当Y非单调可导时$

$①先根据X的定义域求出Y的定义域$

$②再将Y的概率密度转化为X的概率密度，F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(g(X)\leq y)=P(a\leq X\leq b)=F_X(b)-F_X(a)$

$③f_Y(y)=F_Y'(y)=[F_X(b)-F_X(a)]'=f_X(b)b'-f_X(a)a'$

$写出概率密度函数，不要漏掉其他的情况$

2020，03，31

2、设随机变量(X, Y)的联合密度为P(x, y)=(1+xy)/4,|x|, |y|<1，
问：（1）X与Y独立吗（2） $X^2$与 $Y^2$独立吗

$(1)$

$F(a,b)=P\{X\leq a, Y \leq b\}$

$f(x,y)=(1+xy)/4$

$f_X(x)=∫_{-1}^{1}[(1+xy)/4]dy=1/2$

$f_Y(y)=∫_{-1}^{1}[(1+xy)/4]dx=1/2$

$∵f(x,y)≠f_X(x)*f_Y(y)，∴X和Y不独立$

$(2)$

$P\{X^2\leq a,Y^2\leq b\}=P\{-\sqrt{a}\leq X \leq \sqrt a, -\sqrt{b}\leq Y \leq \sqrt b\}=∫_{-\sqrt a}^{\sqrt a}dx∫_{-\sqrt b}^{\sqrt b}[(x+xy)/4]dy=\sqrt{ab}$

$P\{X^2\leq a\}=P\{-\sqrt{a}\leq X \leq \sqrt a, -1\leq Y \leq 1\}=∫_{-1}^{1}dx∫_{-\sqrt a}^{\sqrt a}[(x+xy)/4]dy=\sqrt{a}$

$P\{Y^2\leq b\}=P\{-1\leq X \leq 1,-\sqrt{b}\leq Y \leq \sqrt b\}=∫_{-1}^{1}dy∫_{-\sqrt b}^{\sqrt b}[(x+xy)/4]dy=\sqrt{b}$

5、设X、Y相互独立，X服从参数为1/2的01分布，而Y服从（0，1）上的均匀分布，求X+Y的分布

$P(X+Y\leq z)= \begin{cases} 0 &\text{x≤0}\\ \frac{z}{2} &\text{0< x < 2}\\ 1&\text{x≥2}\\ \end{cases}$

$①0\leq z< 1$

$P\{X+Y\leq z\}=P\{X=0,Y\leq z\}=P\{X=0\}*P\{Y\leq z\}=1/2*z=z/2$

$②1\leq z< 2$

$P\{X+Y\leq z\}=P\{X=0,Y\leq z\}+P\{X=1,Y\leq z-1\}=P\{X=1\}*P\{Y\leq z-1\}=1/2+(z-1)/2=z/2$