锁（NC14732）状压dp

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题目描述

106号房间共有n名居民， 他们每人有一个重要度。房间的门上可以装若干把锁。假设共有k把锁，命名为1到k。每把锁有一种对应的钥匙，也用1到k表示。钥匙可以复制并发给任意多个居民。每个106房间的居民持有若干钥匙，也就是1到k的一个子集。如果几名居民的钥匙的并集是1到k，即他们拥有全部锁的对应钥匙，他们都在场时就能打开房门。新的陆战协定规定，一组居民都在场时能打开房门当且仅当他们的重要度加起来至少为m。问至少需要给106号房间装多少把锁。即，求最小的k，使得可以适当地给居民们每人若干钥匙(即一个1到k的子集)，使得任意重要度之和小于m的居民集合持有的钥匙的并集不是1到k，而任意重要度之和大于等于m的居民集合持有的钥匙的并集是1到k。

输入

第一行两个整数n和m，0<n<21，0<m<1000000001。
第二行n个整数表示居民们的重要度。
重要度在[1,1000000000]之间。

输出

一个整数表示最少需要多少把锁。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define FIO ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
using namespace std;
typedef long long int ll;
ll n, m, impo[30];
int main() {
    FIO;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin>>impo[i];
    }
    ll ans = 0;//初始的钥匙数为0
    for(int i = 0; i < (1 << n); i++){
        //从0遍历到2^n-1
        //从二进制来看，就是从000...0（n个）遍历到111...1(n个)
        //我们把1视作这个人在场，0视作这个人不在场
        ll cur_sum = 0;//记录在场的人的重要度之和
        ll min_impo = 999999999999;//记录所有不到场的人中重要度的最小值
        for(int j = 0; j < n; j++){
            if((1 << j) & i){
                //1 << j的二进制是只有第j+1位为1，其余都为0，
                // 只有i的2进制第j+1位为1， 这个值才可能为true
                cur_sum += impo[j + 1];
            }else{
                //i的二进制的第j+1位为0
                min_impo = min(min_impo, impo[j + 1]);
            }
        }
        if(cur_sum >= m){
            //已经到场的人的重要性已达标，一定可以打开门，直接跳过
            continue;
        }else{
            //已经到场的人的重要性不达标
            if(cur_sum + min_impo >= m){
                //再来一个人，重要性一定就达标了，就一定可以打开房门
                //就说明未在场的人都拥有至少一把在场的人都没有的钥匙
                //那么就给未在场的人每人一把新钥匙，钥匙数+1
                ans++;
                //而且因为每次遍历，在场的人都不一样，就保证了每次都必须给一把新钥匙才能满足题意
            }
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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