4.6 高斯约当消元法

4.6 高斯约当消元法

高斯消元法把矩阵变换为上三角阵，上三角阵还可以继续变换为对角阵。例如上面增广矩阵 $[A, b]$ 变换为上三角阵
$\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & -2 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{matrix} \right]$

先从最后一列倒数第二行开始，最后一行乘以 $-1/4$ 加到倒数第二行，则变换为
$\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & -2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{matrix} \right]$

最后一行乘以 $2/4$ 加到倒数第一行，则变换为
$\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 0 & 6\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{matrix} \right]$

方程 $2$ 乘以 $-4$ 加到方程 $1$，则变换为
$\left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{matrix} \right]$

最后变成单位矩阵，为

$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right]$

最后一列就是方程解。

高斯约当消元法提供了一种手算逆矩阵的方法。求逆矩阵可以看作是解 $n$ 个方程，即 $A\mathbf{b_i}=\mathbf{e_i}$ ，高斯约当消元法把矩阵 $A$ 变换为单位阵 $E$ ，则增广矩阵最后一列就是解，也就是逆矩阵 $A^{-1}$ 的第 $i$ 列向量。如果同时并行解 $n$ 个方程 $A\mathbf{b_i}=\mathbf{e_i}, i \in [ 1,n]$ ，则可并行求得逆矩阵 $A^{-1}$ 所有列向量。增广矩阵 $[A, E]$ 进行高斯约当消元法，把矩阵 $A$ 变换为单位阵，则单位阵变换为 $A^{-1}$ ，即 $[ E, A^{-1}]$ 。

上面是不存在行对调操作的情况，如果需要行对调，则对 $[PA, E]$ 进行高斯约当消元法求逆，得到 $[E, B], B = (PA)^{-1}$ ，则 $A^{-1}=BP$ 。