学过线性代数的同学一定知道线性方程组的相关知识。下面有一个方程组需要应用高斯消元法来求解：
x-2y+3z=6......................(1)
4x-5y+6z=12..................(2)
7x-8y+10z=21..................(3)
我们要求解这个方程组就希望把它变成以下形式：
x+0y+0z=a.......................(1）
0x+y+0z=b.......................(2)
0x+0y+z=c.......................(3）
那么联系线性代数里行列式的知识
首先方程的系数是：
1 -2 3 6 ..........(1) 目的是变成下三角 1 0 0 a ..........................(1)
4 -5 6 12 .........(2) --------------------> 0 1 0 b ..........................(2)
7 -8 10 21 .........(3) 0 0 1 c ...........................(3)
我们就要分别消去x，y，z的系数。
1.在高斯消元法中，要求先将每一列系数最大的那一行与当前处理的行进行交换。(反正就要这么做，至于原理我就不证明了)例如：
1 -2 3 6 ..........(1) 变成 7 -8 10 21 ..........................(1)
4 -5 6 12 .........(2) --------------------> 4 -5 6 12 ..........................(2)
7 -8 10 21 .........(3) 1 -2 3 6 ...........................(3)
2.进行例如 (3)*4-(2)*7 的操作消去式子（3）里x的系数。那么在这个过程中，我们就要求出4与7的最大公因数和最小公倍数。
在这个过程中就要写两个函数分别实现这两个功能。
然后，第一步和第二步循环。
循环后得出几种情况：
（1）这个行列式中出现了：“0 0 0 a ” 这样的一行，说明此方程组无解。
（2）这个行列式中出现了：“0 0 0 0 ” 这样的一行，说明此方程组无穷解，并且出现的行数即为自由变元的个数。
（3）这个行列式中出现了严格的下三角或者上三角形式，说明此方程有唯一解。
以下是高斯消元法的模板：
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;
const int MAXN=50;
int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
/*
void Debug(void)
{
int i, j;
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}
*/
inline int gcd(int a,int b)
{
int t;
while(b!=0)
{
t=b;
b=a%b;
a=t;
}
return a;
}//辗转相除法求最大公约数
inline int lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}//求最小公倍数
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{
int i,j,k;
int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
int col;//当前处理的列
int ta,tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
for(int i=0;i<=var;i++)
{
x[i]=0;
free_x[i]=true;
}//初始化
//转换为阶梯阵.
col=0; // 当前处理的列为第一列
for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++)
{
// 枚举当前处理的行.
max_r=k;
// 找到该col列元素绝对值最大的那行
for(i=k+1;i<equ;i++)
{
if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
max_r=i;
}
//再与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
if(max_r!=k)
{
for(j=k;j<var+1;j++)
swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
if(a[k][col]==0)
{
k--;
continue;
}
for(i=k+1;i<equ;i++)
{
if(a[i][col]!=0)
{
LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
ta = LCM/abs(a[i][col]);
tb = LCM/abs(a[k][col]);
if(a[i][col]*a[k][col]<0)//异号的情况是相加
tb=-tb;
for(j=col;j<var+1;j++)
{
a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
}
}
}
}
//循环结束后k的值为从后往前第一个不为零的行数，col为第k行的第var列（也就是最后一列的值）
// Debug();
// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
for (i = k; i < equ; i++)
{ // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
if (a[i][col] != 0) return -1;
}
// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
// 且出现的行数即为自由变元的个数.
if (k < var)
{
// 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
for (i = k - 1; i >= 0; i--)
{
// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
// 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && free_x[j])
free_x_num++, free_index = j;
}
if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
temp = a[i][var];
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
}
x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
}
return var - k; // 自由变元有var - k个.
}
// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = var - 1; i >= 0; i--)
{
temp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
}
if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
}
int main(void)
{
int i, j;
int equ,var;
while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
// Debug();
int free_num = Gauss(equ,var);
if (free_num == -1) printf("无解!\n");
else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
else if (free_num > 0)
{
printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
for (i = 0; i < var; i++)
{
if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
else
{
for (i = 0; i < var; i++)
{
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}这里放上一个高斯消元法入门题：hdu3364 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3364
题意大概是：有N个灯和M个开关，每个开关控制若干个灯，开启开关会改变所有其控制的灯的状态，一开始所有灯都不亮，每个开关最多开启一次，问有多少种可能方案使所有灯达到某种状态？
题解：每个开关可以看成一个变量（例如x，y...），只是这里的变量取值只有0和1，然后每个灯的状态（亮与灭）对应方程最后一列（例如a,b...），这样分析题目就是一个套用高斯消元法模板的简单题，最后输出2的n次方（n为高斯消元法里的不定变元个数）。
以下是ac代码：
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <set>
using namespace std ;
const int MAXN=55;
int a[MAXN][MAXN],b[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
/*
void Debug(void)
{
int i, j;
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}
*/
inline int gcd(int a,int b)
{
int t;
while(b!=0)
{
t=b;
b=a%b;
a=t;
}
return a;
}//求最大公因数
inline int lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}//求最小公倍数
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{
int i,j,k;
int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
int col;//当前处理的列
int ta,tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
for(int i=0;i<=var;i++)
{
x[i]=0;
free_x[i]=true;
}
//转换为阶梯阵
col=0; // 当前处理的列
for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++)
{
// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
max_r=k;
for(i=k+1;i<equ;i++)
{
if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
}
if(max_r!=k)
{
// 与第k行交换.
for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
if(a[k][col]==0)
{
// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
k--;
continue;
}
for(i=k+1;i<equ;i++)
{
// 枚举要删去的行.
if(a[i][col]!=0)
{
for(j=col;j<var+1;j++)
{
a[i][j] ^= a[k][j];
}
}
}
}
// Debug();
// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
for (i = k; i < equ; i++)
{
// 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
if (a[i][col] != 0) return -1;
}
// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
// 且出现的行数即为自由变元的个数.
if (k < var)
{
// 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
for (i = k - 1; i >= 0; i--)
{
// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
// 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
}
if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
temp = a[i][var];
for (j = 0; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
}
x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
}
return var - k; // 自由变元有var - k个.
}
// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = var - 1; i >= 0; i--)
{
temp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
}
if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
}
int main(void)
{
//freopen("in.txt", "r", stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
int T;
scanf("%d",&T);
for(int cas=1 ;cas<=T;cas++)
{
int equ,var;
scanf("%d%d",&equ,&var);
memset(a,0,sizeof(a));
memset(b,0,sizeof(b));
for(int i=0;i<var;i++)
{
int k;
scanf("%d",&k);
for(int j=0;j<k;j++)
{
int v;
scanf("%d",&v);
b[v-1][i]=1;
}
}
printf("Case %d:\n",cas) ;
int q ;
scanf("%d",&q) ;
while(q--)
{
memcpy(a,b,sizeof(b)) ;
for(int i=0 ;i<equ ;i++)
{
int v ;
scanf("%d",&v) ;
a[i][var]=v ;
}
int x=Gauss(equ,var) ;
if(x<0)
{
puts("0") ;
continue ;
}
printf("%I64d\n",1LL<<x) ;
}
}
/*
int i, j;
int equ,var;
while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
for (i = 0; i < equ; i++)
{
for (j = 0; j < var + 1; j++)
{
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
//Debug();
int free_num = Gauss(equ,var);
if (free_num == -1) printf("无解!\n");
else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
else if (free_num > 0)
{
printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
for (i = 0; i < var; i++)
{
if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
else
{
for (i = 0; i < var; i++)
{
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
printf("\n");
}
*/
return 0;
}