高斯消元法 Gauss

高斯消元法可以求线性方程组。本质上是暴力模拟手算的过程。

$\left\{\begin{array}{l} 3 x+2 y+z=10 \\ 5 x+y+6 z=25 \\ 2 x+3 y+4 z=20 \end{array}\right.$

手算的过程为第一个与第二个方程抵消，第二个与第三个抵消。得到一个元二次方程组在经过类似步骤得到解。其中运用了三个小学性质

两个方程互换解不变。
一个方程乘以非零数解不变。
一方程加上另一个方程，解不变。

至于高斯消元法，先将 $n$ 元一次方程写成 $n \times (n + 1)$ 的矩阵，可以任意交换它的行和左边 $n$ 列，也将一行加到另一行，将一行乘上非零数。

$\left\{\begin{array}{lll|l} 3 & 2 & 1 & 10 \\ 5 & 1 & 6 & 25 \\ 2 & 3 & 4 & 20 \end{array}\right\}$

高斯消元法将矩阵消成前 $n$ 列对角线上元素为 $1$ 其它为 $0$ 的单位矩阵。第 $n + 1$ 列为方程的解。

$\left\{\begin{array}{lll|l} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right\}$

$\left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{array}\right.$

从方程的意义上，一个未知数的系数至少有一个不为 $0$ ，那么矩阵上为一列中至少一个元素不为 $0$ 否则方程无解，所以先判断无解，并将每一列的非零数所在的行移动到对角线上。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	int p = i;
	while (!a[p][i] && p <= n) p++;
	if (p == n + 1) {
		puts("No Solution"); return 0;
	}
	for (int j = 1; j <= n + 1; j++) swap(a[i][j], a[p][j]);
}

因为要让对角线全为 $1$ 所以对每一行除上一个数，让这一行对角线位的元素为 $1$ 。这样会出现小数，所以数组的类型是 double。

double x = a[i][i];  //a[i][i] 会被更新所以用变量保存
for (int j = 1; j <= n + 1; j++) a[i][j] /= x;

再将前 $n$ 列其它的元素搞成 $0$ 。 $A_{i,i}$ 的系数消成了 $1$ 要好好利用，将其它行的第 $i$ 个未知数通过 $A_{i,j}$ 消到 $0$ 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 300, INF = 0x3f3f3f3f;
inline int read() {
	int x = 0, f = 0; char ch = 0;
	while (!isdigit(ch)) f |= ch == '-', ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return f ? -x : x;
}
double a[N][N];
int main() {
	int n = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
		for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
			a[i][j] = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int p = i;
		while (!a[p][i] && p <= n) p++;
		if (p == n + 1) {
			puts("No Solution"); return 0;
		}
		for (int j = 1; j <= n + 1; j++) swap(a[i][j], a[p][j]);
		double x = a[i][i]; 
		for (int j = 1; j <= n + 1; j++) a[i][j] /= x;
		for (int j = 1; j <= n; j++) 
			if (i != j) {
				x = a[j][i];
				for (int k = 1; k <= n + 1; k++) a[j][k] -= a[i][k] * x;
			}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%.2lf\n", a[i][n + 1]);
	return 0;
}

可以发现高斯消元法有点暴力的成分，时间复杂度为 $O(n^3)$ 。

~~模板题 Gym 100644H 配平化学方程式 CF113D Museum~~。

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