逆矩阵:设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。
矩阵求逆一般有两种方法,一个是伴随矩阵法,一个是初等变换法,也就是高斯消元法。这里主要讲高斯消元法的编程方法。
由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知,矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是n\times n方阵,且rank(A) = rank(B) = n)。换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵。
因为对矩阵A施以初等行变换(初等列变换)就相当于在A的左边(右边)乘以相应的初等矩阵,所以我们可以同时对A和I施以相同的初等行变换(初等列变换)。这样,当矩阵A被变为I时,I就被变为A的逆阵B。
bool Gauss(float A[][N], float B[][N], int n)
{
int i, j, k;
float max, temp;
float t[N][N]; //临时矩阵
//将A矩阵存放在临时矩阵t[n][n]中
for (i = 0; i < n; i++)
{
for (j = 0; j < n; j++)
{
t[i][j] = A[i][j];
}
}
//初始化B矩阵为单位阵
for (i = 0; i < n; i++)
{
for (j = 0; j < n; j++)
{
B[i][j] = (i == j) ? (float)1 : 0;
}
}
for (i = 0; i < n; i++)
{
//寻找主元
max = t[i][i];
k = i;
for (j = i + 1; j < n; j++)
{
if (fabs(t[j][i]) > fabs(max))
{
max = t[j][i];
k = j;
}
}
//如果主元所在行不是第i行,进行行交换
if (k != i)
{
for (j = 0; j < n; j++)
{
temp = t[i][j];
t[i][j] = t[k][j];
t[k][j] = temp;
//B伴随交换
temp = B[i][j];
B[i][j] = B[k][j];
B[k][j] = temp;
}
}
//判断主元是否为0, 若是, 则矩阵A不是满秩矩阵,不存在逆矩阵
if (t[i][i] == 0)
{
printf("There is no inverse matrix!");
return false;
}
//消去A的第i列除去i行以外的各行元素
temp = t[i][i];
for (j = 0; j < n; j++)
{
t[i][j] = t[i][j] / temp; //主对角线上的元素变为1
B[i][j] = B[i][j] / temp; //伴随计算
}
for (j = 0; j < n; j++) //第0行->第n行
{
if (j != i) //不是第i行
{
temp = t[j][i];
for (k = 0; k < n; k++) //第j行元素 - i行元素*j列i行元素
{
t[j][k] = t[j][k] - t[i][k] * temp;
B[j][k] = B[j][k] - B[i][k] * temp;
}
}
}
}
return true;
}
完整的测试代码如下:矩阵求逆