开关问题（高斯消元法）

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描述
有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）

输入
输入第一行有一个数K，表示以下有K组测试数据。
每组测试数据的格式如下：
第一行一个数N（0 < N < 29）
第二行 N个0或者1的数，表示开始时N个开关状态。
第三行 N个0或者1的数，表示操作结束后N个开关的状态。
接下来每行两个数I J，表示如果操作第 I 个开关，第J个开关的状态也会变化。每组数据以 0 0 结束。

输出
如果有可行方法，输出总数，否则输出“Oh,it’s impossible~!!” 不包括引号

样例输入
2
3
0 0 0
1 1 1
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2
0 0
3
0 0 0
1 0 1
1 2
2 1
0 0

样例输出
4
Oh,it’s impossible~!!

提示
第一组数据的说明：
一共以下四种方法：
操作开关1
操作开关2
操作开关3
操作开关1、2、3 （不记顺序）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 35;
bool a[MAXN][MAXN];

inline int read() {
    
    
    int x; scanf("%d", &x); return x;
}

int gauss(int n)
{
    
    
    int rank = 0;
    for (int d = 0; d < n; ++d) {
    
     /* d for diagonal */
        int i;
        /* try to find first line whose d'th element = 1 */
        for (i = d; i < n; ++i)
            if (a[i][d] == 1)
                break;

        /* not found */
        if (i == n)
            continue;
        
        /* found */

        /* Step 1: make the d'th element of rank'th line to be 1, by swapping i'th line and rank'th line, including the rightmost column */
        for (int j = 0; j <= n; ++j) 
            swap(a[rank][j], a[i][j]);
        /* Step 2: eliminating the following line if the d'th element = 1, including the rightmost column */
        for (i = rank+1; i < n; ++i) 
            if (a[i][d])
                for (int j = 0; j <= n; ++j) 
                    a[i][j] ^= a[rank][j];

        ++rank;
    }

    /* up to now, the rank+'th line should be all 0 */
    /* if the rightmost column is 1, bad equation, return -1 */
    for (int i = rank; i < n; ++i)
        if (a[i][n])
            return -1;

    /* otherwise, return the rank */
    return rank;
}

int main()
{
    
    
    int K = read();
    for (int k = 0; k < K; ++k) {
    
    
        memset(a, 0, sizeof(a));
        int N = read();
        for (int i = 0; i < N; ++i) 
            a[i][N] ^= read();
        for (int i = 0; i < N; ++i) 
            a[i][N] ^= read();
        for (int x = 0; x < N; ++x)
            a[x][x] = 1;
        for (;;) {
    
    
            int x = read()-1, y = read()-1;
            if (x == -1)
                break;
            a[y][x] = 1;
        }
        int rank = gauss(N);
        if (rank == -1)
            printf("Oh,it's impossible~!!\n");
        else 
            printf("%d\n", 1<<(N-rank));
    }
    system("pause");
    return 0;
}

分析

关于高斯消元法，代码注释已经很详细了，gauss函数实际是一个通用的求解函数，如果无解返回-1，有解返回矩阵的秩
数组a，行表示开关，列表示方案（每个开关“领衔”一种方案，所以行列数相等）
为什么能消元，可以理解为定义了一个等价问题，等价问题的解与原问题的解是一一对应的。高斯消元就是干这个的，而异或运算具有可逆性，所以没问题。
不光行消元具有等价性，列消元也具有等价性。代码中我们通过行消元求出了秩，然后可以脑补一下又进行了列消元，最后只剩对角线上的1。
有1的行必须取，没有1的行取不取都行，所以最终方案数是 $2^{n-rank}$

本题让我们从代数视角重新回顾了精妙的高斯消元法

开关问题（高斯消元法）

分析

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