数据结构的基础知识

要掌握基本的数据组织和数据处理方法：

各种数据的逻辑结构描述
各种数据的存储结构表示
各种数据结构的运算定义
设计实现运算的算法
分析算法效率

数据结构：

1.带结构的数据元素的集合
2.逻辑结构->存储结构->数据运算
3.根据逻辑结构设计存储结构，根据存储结构设计算法，最后对算法进行分析找出最优的算法

逻辑关系：

集合
线性结构
树形结构
图形结构

算法

算法的定义：

数据元素之间的关系有逻辑关系和物理关系，对应的运算有基于逻辑结构的运算描述和基于存储结构的运算实现。
通常将基于存储机构的运算实现步骤或过程称为算法。

算法的五个重要特性：

有穷性：在有穷步后结束，算法能够停机
确定性：无二义性
可行性：通过基本运算有限次执行来实现，也就是算法中每一个动作能够机械性的被执行
有输入（表示存在数据处理）
有输出

算法的描述：

返回值 算法对应的函数名(形参列表)
{
    //零时变量的定义
    //实现由输入参数到输出参数的操作
    ....
}

返回值：通常为bool值，表示算法是否执行成功
形参列表：由输入型参数和输出型参数构成
C++中使用引用&描述输出型参数

时间复杂度：

事后统计分析方法：编写算法对应程序，统计其执行时间。
但因为程序使用不同的编程语言，不同的编程环境还有其它种种因素不能使用绝对运行时间进行比较。

事前估算分析方法：
1.撇开上述因素，认为算法的执行时间是问题规模n的函数
2.频度（T(n)）：求出算法执行原操作的次数，它是问题规模n的函数
3.算法的大致执行时间与T(n)成正比
4.比较不同算法的T(n)大小得出算法执行时间的好坏

$T(n) = O(f(n))$

时间复杂度只需要求 $T(n)$ 的最高阶
$O(1) < O(n) < O(nlog_{2}n) < O(n^2) < O(n^3) < O(n!)$

空间复杂度：

用于度量一个算法在运行过程中临时占用的存储空间的大小
一般也作为问题规模n的函数，采用数量级形式描述，记作:

$S(n) = O(g(n))$

若一个算法的复杂度为O(1)则将这个算法称为原地工作算法或就地工作算法

空间复杂度分析只考虑零时占用的存储空间

最好、最坏和平均时间复杂度分析:

例题：设计了一个算法（如下代码所示），求 $n$ 个整数的序列中前i个元素的最大值。分析算法的最好、最坏和平均时间复杂度

int fun(int a[], int n, int i){
    int j, maxi = a[0];
    for(j = 1; j <= i-1; j++){
        if(a[j] > maxi)  maxi = a[j];
    }
    return max;
}

解： $i$ 的取值范围为 $1$ ~ $n$ ，求前i个元素的最大值需要比较 $i-1$ 次：

平均时间复杂度：
$T(n)=\frac{1}{n}\sum_{i}^{n}(i-1)=\frac{n-1}{2}=O(n)$
最好&坏时间复杂度：
$W(n)=O(n)（当i=n时）$
$B(n)=O(1)（当i=1时）$

递归算法的时空分析

递归算法是指算法中出现调用自己的成分
递归算法分析也称为变长时空分析
非递归算法分析也称为定长时空分析

void fun(int a[], int n, int k){
    int i;
    if(k==n-1){
        for(i=0;i<n;i++)
            printf("%d\n",a[i]);
    }else{
        for(i=k;i<n;i++)
            a[i]=a[i]+i*i;
        fun(a,n,k+1);
    }
}

时间复杂度：

解：设 $fun(a,n,0)$ 的执行时间为 $T(n)$ , $fun(a,n,k)$ 的执行时间为$T1(n,k) -> T(n)=T1(n,0) $
$T1(n,k)=(n-k)+T1(n,k+1)$
$T(n)=T1(n,0)=n+(n-1)+...+1=\frac{n(n+1)}{2}=O(n^2)$
空间复杂度：

解：设 $fun(a,n,0)$ 的执行空间为 $S(n)$ , $fun(q,n,k)$ 的空间为 $S1(n,k)-> S(n)=S1(n,0)$ ：
$S1(n,0)=1+1+...+1=n$
$S(n)=S1(n,0)=n=O(n)$

数据结构的基础知识

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算法

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