【题解】猫狗大战

题目

题目描述

新一年度的猫狗大战通过SC(星际争霸)这款经典的游戏来较量，野猫和飞狗这对冤家为此已经准备好久了，为了使战争更有难度和戏剧性，双方约定只能选择Terran(人族)并且只能造机枪兵。

比赛开始了，很快，野猫已经攒足几队机枪兵，试探性的发动进攻；然而，飞狗的机枪兵个数也已经不少了。野猫和飞狗的兵在飞狗的家门口相遇了，于是，便有一场腥风血雨和阵阵惨叫声。由于是在飞狗的家门口，飞狗的兵补给会很快，野猫看敌不过，决定撤退。这时飞狗的兵力也不足够多，所以没追出来。

由于不允许造医生，机枪兵没办法补血。受伤的兵只好忍了。 $555$~

现在，野猫又攒足了足够的兵力，决定发起第二次进攻。为了使这次进攻给狗狗造成更大的打击，野猫决定把现有的兵分成两部分，从两路进攻。由于有些兵在第一次战斗中受伤了，为了使两部分的兵实力平均些，分的规则是这样的：

1）两部分兵的个数最多只能差一个；

2）每部分兵的血值总和必须要尽可能接近。

现在请你编写一个程序，给定野猫现在有的兵的个数以及每个兵的血格值，求出野猫按上述规则分成两部分后每部分兵的血值总和。

输入格式

第一行为一个整数 $n(1 \le n \le 200)$，表示野猫现在有的机枪兵的个数。以下的n行每行一个整数，表示每个机枪兵的血格 $(1\le a_i \le 40)$

输出格式

只有一行，包含两个数，即野猫的每部分兵的血值总和，较小的一个值放在前面，两个数用空格分隔。

样例输入

3
35
20
32

样例输出

35 52

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题解

写在前面：网上有的题解是可以被轻松hack的，所以我决定自己写一篇来作为总结，欢迎来hack我
hack数据：

3
10 10 21

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如果没有兵的个数的限制，本题就是一道普普通通的01背包裸题，只需以 $\frac{sum}{2}$为背包总容量，每个物品的体积和价值都为血量即可

结合优化空间的01背包的思想， $bool$ $dp_{i,j}$表示选了前 $i$个兵，总血量为 $j$可不可行，现在考虑在以可行的 $dp_{i,j}$中加入一个兵 $k$，他的血量为 $a_k$，那么加入他后 $dp_{i+1,j+a_k}$一定可行
所以得到我们的状态转移方程:

if (dp[j][k]){
	dp[j+1][k+a[i]]=1;
}

由于题目需要血量尽可能的接近，所以我们从 $\frac{sum}{2}$到 $0$开始枚举血量，只要人数对应这个血量可以满足，就输出这组血量并结束程序(因为从 $\frac{sum}{2}$开始枚举血量，所以首先枚举到的肯定是最优的)

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for(int i=sum/2;i>=0;i--){
	if(dp[n/2][i]||(dp[n/2+1][i] && n%2==1)){
		printf("%d %d",i,sum-i);
		break;
	}
}

其实这算是一个二维费用背包 + 可行性的综合题目二维费用很好想到,主要需要想到可行性的如何实现，和最后该如何遍历得到最优解。

完整代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[205],dp[205][8005];
int main() {
	int n,sum=0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]); 
		sum+=a[i];
	}
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=n/2+1;j>=0;j--) {
			for(int k=sum/2;k>=0;k--){
				if (dp[j][k]) {
					dp[j+1][k+a[i]]=1;
				}
			}
		}
	}
	for(int i=sum/2;i>=0;i--){
		if(dp[n/2][i]||(dp[n/2+1][i] && n%2==1)){
			printf("%d %d",i,sum-i);
			break ;
		}
	}
	return 0;
}