关于数论分块的证明

证明借鉴：
1.借鉴1
2.训练指南数论公因数部分
当 $i\in[1,n]$ 时，
$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\rfloor}\rfloor$
同时, $\big\lfloor\frac{n}{i}\big\rfloor$ 的取值最多有 $2\sqrt n$ 个
证明1：
设 $\lfloor\frac{n}{i+\Delta}\rfloor=\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=k$
设 $ki+p=n,k(i+\Delta)+p'=n$
于是 $p'=p-k\Delta$
当 $\Delta_{max}$ 时因为 $p'\ge 0$ 则 $\Delta\le \lfloor\frac{p}{k}\rfloor$ , $\Delta_{max}= \lfloor\frac{p}{k}\rfloor$
求
$i'_{max}=i+\Delta_{max}$
$=i+\lfloor\frac{p}{k}\rfloor$
$=i+\lfloor\frac{n-\lfloor\frac{n}{i}\rfloor*i}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\rfloor$
$=\lfloor i+\frac{n-\lfloor\frac{n}{i}\rfloor*i}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\rfloor$
$=\lfloor \frac{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor*i+n-\lfloor\frac{n}{i}\rfloor*i}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\rfloor$
$=\lfloor \frac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\rfloor$
证明2：
类似于一些有关因数和分块的证明,
关于 $\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$ 的取值，我们可以这样分类

• 当 $1\le i\le \sqrt n$ 时，由于 $i$ 最多时只有 $\sqrt n$ 个，于是 $\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$ 最多有 $\sqrt n$ 个
• 当 $\sqrt n< i\le n$ 时，此时 $1\le \lfloor\frac{n}{i}\rfloor< \sqrt n$ 于是最多有 $\sqrt n-1$ 个
  于是最多有 $2\sqrt n -1$ 个取值，当然一般认为有 $2\sqrt n$ 个