余数之和 数论分块

传送门

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值。

例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7。

第一印象肯定是暴力了，但是本题目的数据量太大了，暴力会TLE，因此需要考虑另外的解法。

$k\%i=k-\lfloor k/i\rfloor \times i$，我们将每个取模运算都写成这样的形式，会得到，最终的结果是

$nk-{\sum }_{i=1}^n\lfloor k/i\rfloor \times i$

$nk$的值是直观可见的，${\sum }_{i=1}^n\lfloor k/i\rfloor$就是整出分块的内容，根据整出分块我们可以知道，里面有相当一部分连续的区间的值是相同的，而这些区间后续需要乘的数字（由于区间连续，所以数字是连续的）是公差为$1$的等差数列，只要确定每个区间的左右端点，就可以再$O(1)$的时间内求解这一个连续区间的答案，而数论分块告诉我们，每一个块的起点如果是$i$，则终点是$\lfloor k/\lfloor k/i\rfloor \rfloor$，但是要注意最后一个区间的右端点可能会小于这个值，因此需要取它和$n$的最小值。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n, k;
ll get(ll l, ll r){
    
    // 获取[l, r]内的和
    int num = r - l + 1;
    if (num & 1)
        return (l + r) / 2 * num;
    return num / 2 * (l + r);
}
int main(){
    
    
    cin >> n >> k;
    ll res;
    res = n * k;
    for (ll i = 1; i <= n;){
    
    
        if (k / i == 0)// 此时与后面的数字相乘一定是0，而且后面的数字都是0，可以跳过
            break;
        ll l, r;
        l = i;
        r = k / i;
        r = k / r;
        r = min(r, n);// 防止r > n
        res -= (k / i) * get(l, r);
        i = r + 1;
    }
    cout << res << "\n";
    return 0;
}