[日常训练]养花（分块+数论）

Description

给定一个长度为 \(n\) 的数组 \(a\)。

要求回答 \(m\) 个询问。

对于每个询问，给出 \(l,r,k\)，求 \(max_{i=l}^{r}\left\{ a_i\ \%\ k \right\}\)。

\(1\leq n,a_i,l,r,k \leq 10^5+1\)。

Solution

分块，块数 \(100\)。

记 \(f[i][j]\) 表示第 \(i\) 块的数 \(\%j\) 的最大值，考虑怎么求 \(f[i][j]\)。

显然有 \(a_i\%j=a_i-\lfloor\frac{a_i}{j}\rfloor×j\)。

那么枚举 \(k\)，在所有满足 \(\lfloor\frac{a_i}{j}\rfloor=k\) 的 \(a_i\) 中取 \(a_i-k×j\) 的最大值。

这相当于找满足 \(a_i<(k+1)×j\) 的最大的 \(a_i\)。

对于每块，预处理 \(b[x]\) 表示这一块 \(≤ x\) 的数当中的最大值。

然后枚举 \(j,k\)，\(f[i][j]=max(b[(k+1)×j-1]-k×j)\)。

假设 \(n,a_i\) 同阶，那么预处理时间复杂度 \(O(100n\log n)\)，常数非常小。

询问复杂度 \(O(1000m)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

template <class t>
inline void read(t & res)
{
    char ch;
    while (ch = getchar(), !isdigit(ch));
    res = ch ^ 48;
    while (ch = getchar(), isdigit(ch))
    res = res * 10 + (ch ^ 48);
}

const int e = 100005, o = 105, m = 100001;
int f[o][e], n, a[e], bl[e], s, br[e], b[e], bel[e], q;

int main()
{
    int i, j, k, now = 0, l, r;
    read(n); read(q); s = n / 100 + 1;
    for (i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);;
    for (i = 1; i <= n; i = j + 1)
    {
        bl[++now] = i; br[now] = j = min(n, now * s);
        for (k = i; k <= j; k++) bel[k] = now;
    }
    for (i = 1; i <= now; i++)
    {
        l = bl[i]; r = br[i];
        for (j = 1; j <= m; j++) b[j] = 0;
        for (j = l; j <= r; j++) b[a[j]] = a[j];
        for (j = 1; j <= m; j++) b[j] = max(b[j], b[j - 1]);
        for (j = 1; j <= m; j++)
        for (k = 0; k <= m; k += j)
        f[i][j] = max(f[i][j], b[min(m, k + j - 1)] - k);
    } 
    while (q--)
    {
        read(l); read(r); read(k);
        int pl = bel[l], pr = bel[r], ans = 0;
        if (pl == pr)
        {
            for (i = l; i <= r; i++) ans = max(ans, a[i] % k);
        }
        else
        {
            for (i = pl + 1; i < pr; i++) ans = max(ans, f[i][k]);
            for (i = l; i <= br[pl]; i++) ans = max(ans, a[i] % k);
            for (i = bl[pr]; i <= r; i++) ans = max(ans, a[i] % k);
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}