奇思妙想之数论分块

数论分块是一种非常重要的思想。就是对于一些表达式，它的值只有sqrt(n)种，那么我们就对于这sqrt(n)种数值进行分块，然后暴力算即可。我们通过下面一道例题来了解数论分块：BZOJ1257

Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值
其中k mod i表示k除以i的余数。
例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7
Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。
1<=n ,k<=10^9
Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3
Sample Output

题目要求的就是∑(n mod i)(i∈[1,k])，我们可以先进行分类讨论（k大于n的情况），对于i∈[n+1,k]答案就是

(k-(n+1)+1)n，而对于区间[1,n]，我们就可以进行数论分块。`(n mod i)`可以表示为`(n-(n/i)i)`,而`(n/i)` 总共只有2*sqrt(n)种取值，而且这些取值是连续的，从i到`n/(n/l)` 这段区间内`(n/i)`都是相同的。（大家可以思考一下为什么），所以这道题我们就可以统计[i,n/(n/i)]，将O(n)的复杂度变为O(sqrt(n))。


#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll read(){
    char c;ll x=0,y=1;while(c=getchar(),(c<'0'||c>'9')&&c!='-');
    if(c=='-') y=-1;else x=c-'0';while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
    x=x*10+c-'0';return x*y;
}
ll n,k,l,ans,tot,r;
int main()
{
    n=read();k=read();l=1;
    register int i;
    while(l<=n){
        if(k<l) break;
        r=k/(k/l);r=min(r,n);
        ll res=0;
        tot+=k*(r-l+1);ans+=(k/l)*(l+r)*(r-l+1)/2;  //(k/l)*(l+r)*(r-l+1)/2相当于(k/l)*∑i (i∈[l,r])
        l=r+1;
    }
    if(l<=n) tot+=(n-l+1)*k;
    printf("%lld",tot-ans);
    return 0;
}

然后我们继续扩展，现在来到了二维：BZOJ2956

Description

　求∑∑((n mod i)*(m mod j))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j。
　　

Input

第一行两个数n,m。

Output

　　一个整数表示答案mod 19940417的值

Sample Input

3 4

Sample Output

样例说明

　　答案为(3 mod 1)(4 mod 2)+(3 mod 1) (4 mod 3)+(3 mod 1) * (4 mod 4) + (3 mod 2) * (4 mod 1) + (3 mod 2) * (4 mod 3) + (3 mod 2) * (4 mod 4) + (3 mod 3) * (4 mod 1) + (3 mod 3) * (4 mod 2) + (3 mod 3) * (4 mod 4) = 1

数据规模和约定

对于100%的数据n,m<=10^9。　

这题要求的是 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(n\ mod\ i)(m\ mod\ i)-\sum_{i=1}^{min(n,m)}(n\ mod\ i)(m\ mod\ i)$

那我们前面部分可以直接用数论分块做，但是关于 $\sum_{i=1}^{min(n,m)}(n\ mod\ i)(m\ mod\ i)$ 我们需要推一下式子

$\sum_{i=1}^{min(n,m)}(n\ mod\ i)(m\ mod\ i)=\sum_{i=1}^{min(n,m)}(n-(n/i)i)(m-(m/i)i)$

$=\sum_{i=1}^{min(n,m)}(nm-ni(m/i)-mi(n/i)+i^2(n/i)(m/i))$

化成这样之后我们就可以进行数论分块了，我们依旧分区间l,r，只不过这次算r不一样`r=min(n/(n/l),m/(m/l));` 然后我们在数论分块种求出这个表达式的值即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define MD 19940417
#define ll long long
#define rev 3323403 //6关于MD的逆元
using namespace std;
ll read(){
    char c;ll x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
ll n,m,l,r,p,totn,totm,cut;
ll pows(ll a,ll b){
    ll base=1;
    while(b){
        if(b&1) base=base*a%MD;
        a=a*a%MD;b/=2;
    }
    return base;
}
ll calc(ll x){
    return x*(x+1)%MD*(2*x+1)%MD*rev%MD;
}
int main()
{
    n=read();m=read();l=1;p=min(n,m);
    while(l<=n){
        r=n/(n/l);
        totn=(totn+(r-l+1)*n%MD-(n/l)*(l+r)*(r-l+1)/2+MD)%MD;
        l=r+1;
    }
    l=1;
    while(l<=m){
        r=m/(m/l);
        totm=(totm+(r-l+1)*m%MD-(m/l)*(l+r)*(r-l+1)/2+MD)%MD;
        l=r+1;
    }
    l=1;
    while(l<=p){
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        cut=(cut+n*m%MD*(r-l+1)%MD-((n/l)*m+(m/l)*n)%MD*((r-l+1)*(l+r)/2%MD)%MD+(n/l)*(m/l)%MD*(calc(r)-calc(l-1)+MD)%MD+MD*5)%MD;  //核心代码
        l=r+1;
    }
    printf("%lld",(totn*totm%MD-cut+MD)%MD);
    return 0;
}