算法竞赛专题解析（19）：数论--质因数分解

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   任何一个正整数 $n$都可以唯一分解为有限个素数的乘积： $n = p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}$，其中 $c_i$都是正整数， $p_i$都是素数且从小到大。
  质因数分解有重要工程意义。在密码学中，需要对高达百位以上的十进制数分解质因子，因此发明了很多高效率的方法¹。不过，大数的质因子分解是个难题，比寻找大素数要难得多，密码算法RSA就利用了大数难以分解的原理。

1、用试除法分解质因子

   分解质因子也可以用前面提到的试除法。求 $n$的质因子：
   （1）第一步，求最小质因子 $p_1$。逐个检查从2到 $\sqrt n$的所有素数，如果它能整除n，就是最小质因子。然后连续用 $p_1$除 $n$，目的是去掉 $n$中的 $p_1$，得到 $n_1$。
   （2）第二步，再找 $n_1$的最小质因子。逐个检查从 $p_1$到 $\sqrt {n_1}$的所有素数。从 $p_1$开始试除，是因为 $n_1$没有比 $p_1$小的素因子，而且 $n_1$的因子也是 $n$的因子。
   （3）继续以上步骤，直到找到所有质因子。
   最后，经过去除因子的操作后，如果剩下一个大于1的数，那么它也是一个素数，是 $n$的最大质因子。这种情况可以用一个例子说明。大于 $\sqrt n$的素数也可能是 $n$的质因子，例如6119 = 29*211，找到29后，因为29 ≥ $\sqrt {211}$，说明211是素数，也是质因子。
   试除法的复杂度是 $O(\sqrt n)$，效率很低。不过，在算法竞赛中，数据规模不大，所以一般就用试除法。
   下面是试除法的代码²。因为试除法的效率不高，所以 $n$用int型，没有用long long。

int p[20];  //p[]记录因子，p[1]是最小因子。一个int数的质因子最多有10几个
int c[40];  //c[i]记录第i个因子的个数。一个因子的个数最多有30几个

void factorization(int n){
    int m = 0;
    for(int i = 2; i*i <= n; i++)
        if(n%i == 0){
           p[++m] = i, c[m] = 0;
           while(n%i == 0)            //把n中重复的因子去掉
              n/=i, c[m]++;    
        }
    if(n>1)                           //没有被除尽，是素数
       p[++m] = n, c[m] = 1;  
}

2、用Pollard_rho启发式方法分解质因子

  试除法的复杂度是 $O(\sqrt n)$，也就是说，对到 $B$的整数进行试除，可以完全获得到 $B^2$的任意数的因子分解；用本节的pollard_rho算法，用同样的工作量，可以对到 $B^4$的数进行因子分解³。需要指出的是，pollard_rho算法也仍然是一种低效的方法，比试除法好一点点，只能在算法竞赛的小规模数据中用用。

  思考一个问题：如何快速找到一个大数的因子？不能像试除法那样从小到大一个个检查，太慢了。可以挑一些数来“试”，运气好说不定就碰到一个。这就是pollard_rho算法的思路，它使用了一个“随机”的方法来找。算法的主要内容只有2个：
  （1）“随机”函数。实际上不是随机，而是一个启发函数： $x_i = (x_{i-1}^2 + c)\ mod\ n$，其中 $x$的初值 $x_1$和 $c$是随机数。计算的结果是生成了一个 $x$序列，这个序列的前一部分 $x_1，x_2，...，x_{j-1}$不重复，后面的 $x_j，x_{j+1}，...，x_i$会重复并形成回路。rho指希腊字母" $\rho$"，不重复的序列是 $\rho$的“尾巴”，重复的回路是 $\rho$的“身体”。

图1 rho的“尾巴”和“身体”

  （2）计算 $n$的一个因子。计算 $d = gcd(y - x_i, n)$，其中y是第 $2^k$个 $x$，即第1、2、4、8、…个，见上图中划线的 $x$。如果d ≠ 1且d ≠ n，d就是n的一个因子，原因很简单，gcd是求最大公约数，所以d肯定是n的因子。
  从上面的描述可以看出，pollard_rho算法极为简单，读者可能怀疑它是否真的有效。确实，在一次 $x$序列中，很可能计算不出因子，需要多次“随机”的 $x$序列才能算出一个因子。令人惊讶的是，这个算法的效果还不错，它可以用 $O(\sqrt p)$次计算找到 $n$的一个小因子 $p$。
  pollard_rho的编码非常简单，见下面代码中的pollard_rho()函数。由于执行一次pollard_rho()只返回一个因子，要得到所有的因子，需要再写一个findfac()函数多次调用pollard_rho()，递归求得所有素因子。

poj 1811 部分代码（pollard_rho）

//poj 1811题：输入一个整数n,2<=N<2^54，判断它是否为素数，如果不是，输出最小素因子。

typedef long long ll;

ll Gcd (ll a,ll b){  return b? Gcd(b, a%b):a;}

ll pollard_rho (ll n){       //返回一个因子，不一定是素因子
    ll i=1, k=2;
	ll c = rand()%(n-1)+1;
    ll x = rand()%n;
    ll y = x;
    while (true){
        i++;
        x = (mult_mod(x,x,n)+c) % n;   //mult_mod(x,x,n)功能是(x*x) mod n
        ll d = Gcd(y>x?y-x:x-y, n);    //重要：保证gcd的数大于等于0
        if (d!=1 && d!=n) return d;    //算出一个因子 
        if (y==x) return n;            //已经出现过，直接返回
        if (i==k) { y=x; k=k<<1;}
    }
}
void findfac (ll n){                   //找所有的素因子
    if (miller_rabin(n)) {             //用miller_rabin判断是否为素数
        factor[tol++] = n;             //存素因子
        return;
    }
    ll p = n;
    while (p>=n) 
		p = pollard_rho(p);            //找到一个因子
    findfac(p);                        //继续寻找更小的因子
    findfac(n/p);
}

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1. 试除法很低效，有很多更好的分解质因子的方法，参考《初等数论及其应用》93页。 ↩︎

2. 代码改写自《算法竞赛进阶指南》河南电子音像出版社，李煜东，137页。 ↩︎

3. 《算法导论》Thomas H.Cormen等著，潘金贵等译，机械工业出版社，551页。 ↩︎