目录
1. 普里姆算法介绍
- 普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
- 普利姆的算法如下:
- 设G=(V,E)是连通网， T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
- 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
- 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边(ui,vj) 加入集合D中，标记visited[vj]=1
- 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
2. 修路问题
2.1 题目表述
- 有胜利乡有7个村庄(A, B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个村庄连通
- 各个村庄的距离用边线表示(权)，比如A-B距离5公里
- 问:如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
思路：尽可能选择少的路线，并且每条路最小，才能保证总里程数最小。
2.2 最小生成树
修路问题本质就是就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST。
- 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树.上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树
- N个顶点，一定有N-1条边
- 包含全部顶点
- N-1条边 都在图中.
- 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
2.3 普利姆算法图解
3. 代码实现
代码中已有详细的注释~~
package com.example.datastructureandalgorithm.prim;
import java.util.Arrays;
/**
* @author 浪子傑
* @version 1.0
* @date 2020/6/15
*/
public class PrimDemo {
public static void main(String[] args) {
// 新建节点名称
char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
// 所有节点的长度
int verxs = data.length;
// 初始化二位数组，横坐标和纵坐标依次对应data节点，weight[i][j]代表i到j的距离
// 10000代表不可达
int[][] weight = new int[][]{
{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}
};
MGraph graph = new MGraph(verxs, data, weight);
graph.showGraph();
graph.prim(0);
}
}
class MGraph {
/**
* 表示图的节点数
*/
int verxs;
/**
* 存放节点的数据，即节点的名称
*/
char[] data;
/**
* 存放边之间的权重，即邻接矩阵
* 下标表示data名称对应的下标
*/
int[][] weight;
/**
* 构造函数，初始化
*
* @param verxs
*/
public MGraph(int verxs, char[] data, int[][] weight) {
this.verxs = verxs;
this.data = data;
this.weight = weight;
}
public void showGraph() {
for (int[] ints : this.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(ints));
}
}
public void prim(int v) {
// 创建一个被访问记录表，1表示已访问，0表示未访问
int[] visited = new int[verxs];
// 表示当前节点已访问
visited[v] = 1;
// 中间变量，记录二维数组位置
int h1 = -1;
// 中间变量，记录二维数组位置
int h2 = -1;
// 默认权重
int minWeight = 10000;
// 从1开始循环所有的数据
for (int k = 1; k < verxs; k++) {
// 此层for循环表示，已访问节点
for (int i = 0; i < verxs; i++) {
// 此层for循环表示未访问节点
for (int j = 0; j < verxs; j++) {
// visited[i] == 1表示已访问的节点
// visited[j] == 0表示未访问的节点
// 如果已访问节点到未访问节点的权重小于minWeight，则替换minWeight
// 并记录对应已访问节点和未访问节点的位置
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && minWeight > weight[i][j]) {
minWeight = weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
// 输出找到节点以及对应权值
System.out.println("边《" + data[h1] + "," + data[h2] + "》权值：" + minWeight);
// 表示之前未访问节点已访问
visited[h2] = 1;
// 重置minWeight
minWeight = 10000;
}
}
}