普利姆算法(prim)求最小生成树(MST)过程详解
一、最小生成树相关基础知识
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最小生成树相关概念:
带权图:边赋以权值的图称为网或带权图,带权图的生成树也是带权的,生成树T各边的权值总和称为该树的权。
最小生成树(MST):权值最小的生成树。
生成树和最小生成树的应用:要连通n个城市需要n-1条边线路。可以把边上的权值解释为线路的造价。则最小生成树表示使其造价最小的生成树。
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最小生成树的性质:
MST性质:假设G=(V,E)是一个连通网,U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边,其中u∈U,v∈V-U,则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。
构造网的最小生成树必须解决下面两个问题:
(1)尽可能选取权值小的边,但不能构成回路;
(2)选取n-1条恰当的边以连通n个顶点;
END
三、普利姆求最小生成树算法过程图解
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第一步:随意选取起点
图中有9个顶点v1-v9,集合表示为:V={v1,....,V9},每条边的边权值都在图上;在进行prim算法时,我们先随意选择一个顶点作为起始点(起始点的选取不会影响最小生成树结果),在此我们一般选择v1作为起始点,现在我们设U集合为当前所找到最小生成树里面的顶点,TE集合为所找到的边。
状态如下:U={v1}; TE={};
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第二步:在前一步的基础上寻找最小权值
查找一个顶点在U={v1}集合中,另一个顶点在V-U集合中的最小权值,如下图,在红线相交的线上找最小值。
通过图中我们可以看到边v1-v8的权值最小为2,那么将v8加入到U集合,(v1,v8)加入到TE。
状态如下:U={v1,v8}; TE={(v1,v8)};
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第三步:继续寻找最小权值
查找一个顶点在U={v1,v8}集合中,另一个顶点在V-U集合中的最小权值,如下图,在红线相交的线上找最小值。
通过图中我们可以看到边v8-v9的权值最小为4,那么将v9加入到U集合,(v8,v9)加入到TE。
状态如下:U={v1,v8,v9}; TE={(v1,v8),(v8,v9)};
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第四步:在前一步的基础上,继续寻找最小权值
查找一个顶点在U={v1,v8,v9}集合中,另一个顶点在V-U集合中的最小权值,如下图,在红线相交的线上找最小值。
通过图中我们可以看到边v9-v2的权值最小为1,那么将v2加入到U集合,(v9,v2)加入到TE。
状态如下:U={v1,v8,v9,v2};
TE={(v1,v8),(v8,v9),(v9,v2)};
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第五步:继续在前一步的基础上,寻找最小权值
查找一个顶点在U={v1,v8,v9,v2}集合中,另一个顶点在V-U集合中的最小权值,如下图,在红线相交的线上找最小值。
通过图中我们可以看到边v2-v3的权值最小为3,那么将v3加入到U集合,(v2,v3)加入到TE。
状态如下:U={v1,v8,v9,v2,v3};
TE={(v1,v8),(v8,v9),(v9,v2),(v2,v3)};
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第五~九步:继续在前一步的基础上,寻找最小权值
如此循环一下直到找到所有顶点为止。到这大家应该对普利姆算法求解最小生成树的过程有所知晓,但需注意以下三点:
(1)每次都选取权值最小的边,但不能构成回路,构成环路的边则舍弃。如图中的(v1,v9),(v1,v2)等构成回路舍弃
(2)遇到权值相等,又均不构成回路的边,随意选择哪一条,均不影响生成树结果。如图中的(v3,v4),(v6,v5)权值均为9,选择哪一条在先均不影响最小生成树的生成结果。
(3)选取n-1条恰当的边以连通n个顶点。
完整的算法步骤如图所示:
END