图的最小生成树（普利姆prim算法）

什么是生成树呢？

一个连通图的生成树是指一个极小连通子图， 它含有图中的全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

什么是最小生成树？

在一个连通图的所有生成树中，各边的代价之和最小的那棵生成树称为该连通图的最小代价生成树（MST）， 简称最小生成树。

求最小生成树有两种算法，本文讲prim算法。

简略证明

使用反证法证明

设一棵最小生成树T不包含最短边a，将a加入最小生成树T中，书中必定构成一个包含a的回路，而回路中必定有边比a大（因a为最短边），则删除比a大的边得到一棵比原先T更小的树T1，而T1才是最小生成树，则与假设矛盾，证明成立。

prim算法

将树的所有点划分为两个集合U 和 V

每次选一个最小代价的点从V加入U中，然后更新V中的点到U的最小代价，周而复始直到V为空。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define MAX_VERTEX_NUM 20
 4 #define INFINTY 32768
 5 typedef int AdjType;//权值类型
 6 typedef enum{DG, DN, UDG, UDN} GraphKind;
 7 typedef char VertexData;
 8 //边集
 9 typedef struct ArcNode{
10     AdjType adj;
11     //Other info
12 }ArcNode;
13 typedef struct{
14     VertexData vertex[MAX_VERTEX_NUM];
15     ArcNode arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
16     int vexnum, arcnum;
17     GraphKind kind;
18 }AdjMatrix;
19 struct{
20     int adjvex;
21     int lowcost;
22 }closedge[MAX_VEX_NUM];
23 
24 MiniSpanTree_Prim(AdjMatrix gn, int u){
25     closedge[u].lowcost = 0;
26     for(int i = 0; i< gn.vexnum; i++)       //初始化
27     if(i != u){
28         closedge[i].adjvex = u;
29         closedge[i].lowcost = gn.arcs[u][i].adj;
30     }
31     for(int e = 1; i < = gn.vexnum-1;e++){
32         int v = Minium(closedge); //the minium cost from V to U
33         int u = closedge[v].adjvex;
34        // printf();
35        closedge[v].lowcost = 0; //add v to U
36        for(int i = 0; i< gn.vexnum; i++)
37        if(gn.arcs[v][i].adjgn.arcs[v][i].adj < closedge[i].lowcost){
38         closedge[i].lowcost = gn.arcs[v][i].adj;
39         closedge[i].adjvex = v;
40        }
41     }
42 
43 }