matlab图论实例（一）最短路径问题——Floyd 和 dijkstra 算法

某公司在六个城市 $c_1$,$c_2$,….,$c_6$ 中有分公司，从 $c_i$ 到 $c_j$ 的直接航程票价记在下述矩阵的 ($i$,$j$) 位置上。 （$∞$表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市 $c_1$ 到其它城市间的票价便宜的路线图。

$$\left[ \begin{matrix} 0 & 50 & ∞ & 40 & 25 & 10 \\ 50 & 0 & 15 & 20 & ∞ & 25 \\ ∞ & 15 & 0 & 10 & 20 & ∞ \\ 40 & 20 & 10 & 0 & 10 & 25\\ 25 & ∞ & 20 & 10 & 0 & 55 \\ 10 & 25 & ∞ & 25 & 55 & 0 \end{matrix} \right]$$

1. Floyd 算法

算法详解请戳

• 变量解释：
  
  • n 是公司个数
  • a 存储航路票价，最后结束循环存储的是最便宜票价
  • path 存储每对顶点之间最短路径上所经过的定点的序号，也就是”中转站”序号

clear;clc;
n = 6;      
a = [0 50 inf 40 25 10;
        0 0 15 20 inf 25;
        0 0 0 10 20 inf;
        0 0 0 0 10 25;
        0 0 0 0 0 55;
        0 0 0 0 0 0];  % 由于 a 是无向图，航路票价沿着正对角线对称，可以只写出右上角
a = a + a';    % 由于票价沿正对角线对称，即完整的 a 为 a + a 的转置
path = zeros(6);   % 定义 path 为 6 x 6 的矩阵
for k = 1:n
      for i = 1:n
        for j = 1:n
          if a(i,j) > a(i,k) + a(k,j)    
          % 如果从 i 城市到 j 城市的票价大于从 i 城市到 k，再从 k 到 j 城，那么 i 到 j 城肯定不是最短路径
             a(i,j)  =  a(i,k) + a(k,j);    % 更新 i 到 j 的最少票价
             path(i,j) = k;     % 同时记录下 i 到 j 的"中转站"
             % 注意下一次更新会覆盖上一次 path(i,j) 存储的，所以其实 path(i,j)中存储的 只是最后一个 "中转站"
          end
        end
      end
  end
a,path

2. dijkstra 算法

算法详解请戳

• 算法示意图：
  

• 变量解释：

  • n 是公司个数
  • m 存储票价
  • pb 存放标号信息，当 pb($i$) = 1，当前第 $i$ 节点已标号，否则为 0 未标号
  • d 表示最短通路的值
  • path 存储每对顶点之间最短路径上所经过的定点的序号
  • tb 表示当前未标记的点的矩阵
  • fb 表示当前已标记的点的矩阵
  • min 求最小值之前的预设值
  • lastpoint 暂存当前选定的一个已标记点
  • newpoint 暂存当前选定的一个未标记点
  • plus 即已知点到未知点距离

clear;clc;
n = 6;
m = [0 50 inf 40 25 10;
     0 0 15 20 inf 25;
     0 0 0 10 20 inf;
     0 0 0 0 10 25;
     0 0 0 0 0 55;
     0 0 0 0 0 0];
 m = m + m';
 pb(1:length(m))= 0; % 将所有未标记点置 0
 pb(1) = 1;    % 选择第 1 个点标记
 d(1:length(m))=0;  % 将全部最短距离置 0
 path(1:length(m))=0;   % 将全部"中转站"置 0 
 while sum(pb) < 6  % 当状态不全为 1（即未标记全部点时）
     tb = find(pb==0);   % 找到未标记的点的矩阵
     fb = find(pb==1);   % 找到已标记的点的矩阵
     min = 1000000;    
     lastpoint =1;    
     newpoint =1; 
     % 从每一个已标记点，到每一个未标记点
     for i=1:length(fb)   
         for j=1:length(tb) 
             plus = d(fb(i)) + m(fb(i),tb(j))  % 计算点之间的距离
             if min > plus
                min = plus;  % 更新最小值
                lastpoint = fb(i);   % 记录当前最小值下已标记点
                newpoint = tb(j);    % 记录当前最小值下未标记点
             end
         end
     end
     d(newpoint) = min;   % 更新最终的最小值
     pb(newpoint) = 1;    % 更新当前未标记点状态（未标记——》标记）
     path(newpoint) = lastpoint;  % 更新当前点上一个点
 end
 d,path

还有一个问题：
为啥 Floyd 和 dijkstra 求出来的 path 最下角不一样欸？