牛客挑战赛30 - C 小G砍树

题解 - 牛客挑战赛30 - C 小G砍树

• 一道练习换根 $DP$以及计数的好题。

题目意思

• 小G砍树
• 给你一个 $n$个节点的树，每次只能删除度为 $1$的节点问删光所有节点的总方案数。
• $n\leq 10^5$

$\mathrm{Sol}$

• 前置知识：换根DP，组合数
• 我们如果把状态设为 $f_u$表示最后一个删数 $u$节点的总方案数。但是子树之间有相互影响的关系，做不了。但是我们考虑一定是从下往上删的，其实往上删节点的过程可以认为是一个填编号的过程。我们设 $Siz_u$为 $u$节点的子树大小，那么 $u$节点的编号肯定为 $Siz_u$，那么 $u$子树里的点（直接儿子）是可以随意填的。那么我们可以先预处理出 $f_u$表示 $u$以及他的直接儿子都标记好标号的方案数。
• 那么 $f_u=\prod_{v∈u}f_v\times C_{Siz_u-Siz_v}^{Siz_v}$，每次选一个儿子 $v$,要使 $Siz_u-=Siz_v$
• 以上都还算比较好理解，那么我们就开始利用换根 $DP$来求出每个点的方案数 $g_u$，那么答案就是 $ans=\sum_{i=1}^{n} g_i$
• 其他博客没有清楚地讲换根的过程，我这里来讲一下：首先我们设 $u$为当前子树的根节点 $v$为即将要换根的节点，我们要如何从 $u\to v$呢？
• 我么首先把 $v$对 $u$的贡献从 $u$中解除，这个比较好处理就是 $v\to u=f_u \times \left(\dfrac{1}{C_{n-1}^{siz_v}\times f_v}\right)$，因为在预处理时候加进去的要减掉。然后我们现在以 $v$为根了要加 $u\to v$贡献，那么 $u\to v=f_v\times C_{n-1}^{n-siz_v} \times (v\to u)$。因为现在 $v$成为根了那么要把它新增子树的贡献加上去，这个可以和一开始的求方案树的柿子联系在一起思考。
• 这样我们就做完了这道好题。

$\mathrm{Code}$

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pb push_back
using namespace std;
 
inline int read()
{
    int sum=0,ff=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-') ff=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
        sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar();
    return sum*ff;
}
 
const int N=1e5+5;
const int mo=998244353;
 
int n,m,ans,siz[N],f[N],inv[N],jc[N];
vector<int> G[N];
  
inline int ksm(int x,int y)
{
    int ret=1ll;
    while(y)
    {
        if(y&1) ret=ret*x%mo;
        x=x*x%mo;
        y>>=1ll;
    }
    return ret;
}
 
inline int C(int x,int y)
{
    return jc[x]%mo*inv[x-y]%mo*inv[y]%mo;
}
 
inline void dfs(int u,int fa)
{
    f[u]=1,siz[u]=1;
    for ( int i=0;i<G[u].size();i++ )
    {
        int v=G[u][i];
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        siz[u]+=siz[v];
    }
    int sum=0;
    for ( int i=0;i<G[u].size();i++ )
    {
        int v=G[u][i];
        if(v==fa) continue;
        f[u]=(f[u]*C(siz[u]-sum-1,siz[v])%mo*f[v]+mo)%mo;
        sum+=siz[v];
    }
}
 
inline void dp(int u,int fa)
{
    for ( int i=0;i<G[u].size();i++ )
    {
        int v=G[u][i];
        if(v==fa) continue;
        int las=(f[u]*ksm(C(n-1,siz[v]),mo-2)%mo)*ksm(f[v],mo-2)%mo;
        f[v]=f[v]*C(n-1,n-siz[v])%mo*las%mo;
        dp(v,u);
    }
}
 
signed main()
{
    n=read();
    jc[0]=inv[0]=1;
    for ( int i=1;i<=n;i++ ) jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
    for ( int i=1;i<=n;i++ ) inv[i]=ksm(jc[i],mo-2)%mo;
    for ( int i=1;i<n;i++ )
    {
        int x,y;
        x=read(),y=read();
        G[x].pb(y);
        G[y].pb(x);
    }
    dfs(1,0);
    dp(1,0);
    for ( int i=1;i<=n;i++ ) ans=(ans+f[i])%mo;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}