牛客挑战赛 C

题意

圆桌坐人，两国人来做。
$A$国要求相邻没人。
$B$国要求相邻两位没人。
但是坐下来之后就没有要求(比如 $B$坐下来之后隔一位可以放 $A$)。
$A$国出现的概率 $\frac{p}{p+q}$， $B$国 $\frac{q}{p+q}$
进店后， $\frac{1}{n}$概率地挑一位子，可以坐就会坐，否则就走。
求人数期望，进店的人数是无穷的。

题解

首先拆成链，固定一个人坐好。
然后 $dp[n]$表示两边坐了人，连续 $n$个空位子坐人的期望。
显然有下面的：

分成三部分：
第一部分： $A$国人坐
第二部分： $B$国人坐
第三部分： $A/B$坐，但没得坐，挑的位子不符合要求。

$dp[n]=\frac{p}{p+q}*\frac{1}{n+2}*\sum\limits_{i=2}^{n-1}(dp[i-1]+dp[n-i]+1)+\frac{q}{p+q}*\frac{1}{n+2}*\sum\limits_{i=3}^{n-2}(dp[i-1]+dp[n-i]+1)+\frac{p}{p+q}*\frac{4}{n+2}*dp[n]+\frac{q}{p+q}*\frac{6}{n+2}*dp[n]$

$((n-2)p+(n-4)q)dp[n]=p*\sum\limits_{i=2}^{n-1}(dp[i-1]+dp[n-i]+1)+q*\sum\limits_{i=3}^{n-2}(dp[i-1]+dp[n-i]+1)$

$dp[n]=(\frac{1}{(n-2)p+(n-4)q})(p*\sum\limits_{i=2}^{n-1}(dp[i-1]+dp[n-i]+1)+q*\sum\limits_{i=3}^{n-2}(dp[i-1]+dp[n-i]+1))$

$dp[n]=(\frac{1}{(n-2)p+(n-4)q})(p*(2*sum[n-2]+n-2)+q*(2*sum[n-3]+n-4))$

最后是拿前缀和优化。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e6 + 500;

typedef long long ll;

const ll mod = 998244353;

ll sum[maxn],dp[maxn];

inline ll quick_pow(ll x,int p){
    ll res=1;
    while(p){
        if(p&1) res=(res*x)%mod;
        x=(x*x)%mod, p>>=1;
    }
    return res;
}

inline ll inv(ll a){
    ll inv_a=quick_pow(a,mod-2);
    return inv_a;
}

int main(){
    int n;ll p,q;cin>>n>>p>>q;
    dp[0]=dp[1]=dp[2]=0;
    if(p==0)dp[3]=dp[4]=0;
    else dp[3]=dp[4]=1;
    sum[3]=dp[3];
    sum[4]=dp[3]+dp[4];
    for(int i=5;i<=n-1;i++){
        ll tmp=inv((1ll*(i-2)*p+1ll*(i-4)*q)%mod)%mod;
        //cout<<tmp<<endl;
        dp[i]=tmp*((p*(sum[i-2]*2%mod+i-2)%mod+q*(sum[i-3]*2%mod+i-4)%mod)%mod)%mod;
        sum[i]=(sum[i-1]+dp[i])%mod;
    }
    cout<<(dp[n-1]+1)%mod<<endl;
}