【区间 dp】A016_NK_善变的同伴（最大的m段字段和问题）

一、Problem

又到了吃午饭的时间，你和你的同伴刚刚研发出了最新的GSS-483型自动打饭机器人，现在你们正在对机器人进行功能测试。

为了简化问题，我们假设午饭一共有N个菜，对于第i个菜，你和你的同伴对其定义了一个好吃程度（或难吃程度，如果是负数的话……）A[i]，

由于一些技（经）术（费）限制，机器人一次只能接受一个指令：两个数L, R——表示机器人将会去打第L~R一共R-L+1个菜。

本着不浪费的原则，你们决定机器人打上来的菜，含着泪也要都吃完，于是你们希望机器人打的菜的好吃程度之和最大

然而，你善变的同伴希望对机器人进行多次测试（实际上可能是为了多吃到好吃的菜），他想知道机器人打M次菜能达到的最大的好吃程度之和
当然，打过一次的菜是不能再打的，而且你也可以对机器人输入-1, -1，表示一个菜也不打

输入描述:

第一行：N, M

第二行：A[1], A[2], …, A[N]

输出描述:

一个数字S，表示M次打菜的最大好吃程度之和

输入
7 2
1 2 3 -2 3 -10 3
输出
10
说明
[1 2 3 -2 3] -10 [3]

备注:

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N <= 10^5 = 100000
|A[i]| <= 10^4 = 10000
10%数据M = 1
50%数据M <= 2
80%数据M <= 100
100%数据M <= 10^4 = 10000

二、Solution

方法一：暴力 dp（超时）

• 定义状态：
  • $f[i][j]$ 表示将前 $j$ 个数分成 $i$ 段的最大子弹和。
• 思考初始化：
  • $f[1...m][1...n] = 0$
• 思考状态转移方程：
  • $i = j$，则 $f[i][j] = f[i-1][j-1] + a[j]$ 表示每个数字都可自己起一段。
  • $i < j$，则分为两种情况：
    • 在第 $i$ 段中加入第 $j$ 个数字： $f[i][j] = f[i][j-1] + a[j]$
    • 从前面的 $i-1$ 段中选一段，然后第 $j$ 个数字自己起一段： $f[i][j] = max( f[i-1][k] ) + a[j]$， $k∈ [i-1, j)$，表示第 $j$ 个数字自己起一段。
• 思考输出： $max(f[m][j])，j∈[m,n]$表示将序列 $[0,j]$ 分为 $m$ 段，选择其中最大的一段。

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
    static class Solution {
        void init() {
            Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
            int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt(), a[] = new int[n+1], f[][] = new int[m+1][n+1];
            for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = sc.nextInt();

            for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = i; j <= n; j++) {
                if (i == j) 
                	f[i][j] = f[i-1][j-1] + a[j];
                else {
                    f[i][j] = f[i][j-1] + a[j];
                    for (int k = i-1; k < j; k++)
                        f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i-1][k] + a[j]);
                }
            }
            int max = 0;
            for (int j = m; j <= n; j++) {
                max = Math.max(max, f[m][j]);
            }
            System.out.println(max);
        }
    }
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
        s.init();
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(m × n^2)$，
• 空间复杂度： $O(m × n)$，

---

方法二：滚动数组优化

复杂度分析

• 时间复杂度： $O()$，
• 空间复杂度： $O()$，

---

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