数值分析Python实现系列—— 一、拉格朗日插值法

一、拉格朗日插值法

1.原理:

拉格朗日插值法:给定n个观测值(x_k,y_k)找到一组(n个)基函数 l_k(x)  , 使得L(x) 为这组基函数的线性组合,并且使得L(x)是经过这些点的多项式

我们发现其中的一种找发是  :  满足这样线性组合的系数 是 观测值y_k (n个)

满足这样线性组合的基函数形如:

2.Python实现:

思路:

1.观察发现基函数的分母与x无关,是观测值x的组合,可以先计算出来,留着以后用

2.每一个预测值先计算分子,再把每一个分子乘以每一个预测值,除以每一个分母,最终加和

3.使用matplotlib里的plot展示结果,蓝色点为观测值,红色点为预测值

 1 import matplotlib.pyplot as plt
 2 from functools import reduce
 3 # % matplotlib inline (jupyter notebook用户建议打开)
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 6 def lagrange():
 7     points = eval(input("输入一个包含2个以上坐标的列表:"))
 8     pre = eval(input("输入预测值列表:"))
 9     length = len(points)
10     result = []
11     # l_k_den用于存储每一个基函数的分母数值(在计算不同预测值时可以共用)
12     l_k_den = [reduce(lambda x, y: x * y, [num[0] - i[0] for i in points if i[0] != num[0]]) for num in points]
13     for number in pre:
14         # l_k_num用于存储每一个基函数的分子数值(每一个预测值都不一样)
15         l_k_num = [reduce(lambda x, y: x * y, [number - i[0] for i in points if i[0] != one[0]]) for one in points]
16         result.append(sum([l_k_num[i] * points[i][1] / l_k_den[i] for i in range(length)]))
17     plt.plot([i[0]for i in points], [i[1] for i in points], 'b*')
18     plt.plot(pre, result, 'r*')
19     plt.show() # pycharm用户建议使用
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21 
22 lagrange()

 3.效果展示:

Pycharm:

输入:

输出:

jupyter中:

输入输出:

4.学习总结:

1. reduce() 函数会对参数序列中元素进行累积。 语法: reduce(function, iterable[, initializer])  例子: reduce(lambda x, y: x+y, [1,2,3,4,5]) # 使用 lambda 匿名函数 结果:17