[计算机数值分析]牛顿插值公式

埃特金算法虽然具有承袭性，但其算式时递推型的，不便于理论上的分析。所以采用具有承袭性的显式的牛顿插值公式是不错的选择。
见下图：

按照差商的表达式，如果调换两个节点的顺序，只是意味着改变式子求和的顺序，其值不变。

例：已知节点 (0,1)(2,3)(3,2)(5,5) ,构造三次Newton 插值多项式，当 x = 2.5 时，计算 Newton 多项式插值结果。
解：由前面计算的差商值，我们很容易写出三次 Newton 插值多项式如下：

• 运行示例：

• 源码：

#include<iostream>
using namespace std;

#define MAX 10

typedef struct Point  //插值节点信息结构体
{
    
    
	double x;
	double y;
}point;

int main(void)
{
    
    
	int n;   //插值节点个数
	double x;
	point p[MAX];   //定义结构体数组

	cout << "请输入插值节点的个数:";
	cin >> n;

	for (int i = 1; i <= n; i++)   //将节点信息存入结构体数组
	{
    
    
		cout << "请输入第" << i << "个点的坐标:";
		cin >> p[i].x;
		cin >> p[i].y;
	}

	cout << "请输入x的值:";   //输入x提示
	cin >> x;

	double item, sum;  //item为每一项的值，等于各阶差商与右半部分的乘积;sum为牛顿插值的最终解
	sum = 0;   //对每一项值累加,作为最终牛顿插值的解

	for (int i = 1; i <= n; i++)   //有n项，循环n次
	{
    
    
		double differenceCoefficient = 0;   //对差商赋初值0
		double right = 1;   //对右半部分赋初值1

		if (i == 1)   //根据牛顿插值公式，第一项为f(x1)即0阶差商,直接继续求二阶差商
		{
    
    
			item = p[1].y;
			sum += item;
			continue;
		}

		//求右边部分即(x-x1),(x-x1)(x-x2)......
		for (int j = 1; j < i; j++)
		{
    
    
			right *= (x - p[j].x);
		}

		double temp, leftSum;   //temp表示分子与分母之商即各阶差商里面的一项;leftSum为左半部分之和即各阶差商里各项的值也即最终差商differenceCoefficient
		double numerator;   //分子

		//赋初值
		leftSum = 0;

		//求左边部分leftSum即f(x1,x2),f(x1,x2,x3)......也即差商differenceCoefficient
		for (int k = 1; k <= i; k++)
		{
    
    
			double denominator = 1;   //每次循环赋分母初值为1

			if (i == 1 && k == 1)   //i=1时不处理，直接退出
			{
    
    
				leftSum = 1;
				break;
			}

			numerator = p[k].y;   //求差商过程中，里面每一项的分子

			for (int m = 1; m <= i; m++)
			{
    
    
				if (m == k)
				{
    
    
					continue;
				}
				denominator *= (p[k].x - p[m].x);   //累乘分母
			}

			temp = numerator / denominator;   //求分子与分母之商，求得组成差商的每一项
			leftSum += temp;   //累加组成差商的每一项，最终结果为差商differenceCoefficient
		}

		differenceCoefficient = leftSum;   //值赋给差商
		item = differenceCoefficient * right;   //求第i项的值，即牛顿插值公式中的每一项
		sum += item;   //累加的最终牛顿插值解
	}

	cout << "\n运用牛顿插值法求得f(x)=" << sum << endl;

	return 0;
}